*a) Prove que a área da elipse
é
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos provar que a área da elipse dada pela equação
é igual a
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre as propriedades das elipses e a fórmula para calcular sua área.
Passo 2
Vamos começar identificando os elementos da equação da elipse. A forma geral de uma elipse é dada por
, onde
é o semi-eixo maior (na horizontal) e
é o semi-eixo menor (na vertical).
Passo 3
Comparando com a nossa equação
, podemos ver que:
Passo 4
A fórmula para calcular a área (
) de uma elipse é:
Essa fórmula basicamente multiplica o comprimento dos dois semi-eixos e o fator
para obter a área total.
Passo 5
Substituindo os valores de
e
na fórmula:
Resposta
A área da elipse é
.
Exercícios relacionados
Encontre as assíntotas horizontais, verticais e inclinadas das seguintes funções:
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
b) Avalie