*a) Prove que a área da elipse x^2/3^2 + y^2/5^2 = 1 é 15 pi

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos provar que a área da elipse dada pela equação x^2/3^2 + y^2/5^2 = 1 é igual a 15 pi. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre as propriedades das elipses e a fórmula para calcular sua área.

Passo 2

Vamos começar identificando os elementos da equação da elipse. A forma geral de uma elipse é dada por , onde a é o semi-eixo maior (na horizontal) e b é o semi-eixo menor (na vertical).

Passo 3

Comparando com a nossa equação x^2/3^2 + y^2/5^2 = 1, podemos ver que:

Passo 4

A fórmula para calcular a área ( A) de uma elipse é:
Essa fórmula basicamente multiplica o comprimento dos dois semi-eixos e o fator pi para obter a área total.

Passo 5

Substituindo os valores de a e b na fórmula:

Resposta

A área da elipse é 15 pi.

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