(b) Avalie se a integral imprópria
integral-infty^3 1x^2+9 d x
converge ou diverge. Se convergir determine seu valor.

Passo 1

Vamos analisar a integral imprópria
integral-infty^3 1x^2+9 , dx
Aqui estamos lidando com uma integral imprópria porque um dos limites de integração vai até o infinito. O conteúdo principal envolve cálculo de integrais e, mais especificamente, integris que possuem limites infinitos. Para resolver isso, precisamos entender como transformar a integral em um limite e calcular seu valor final, verificando se ela converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito).

Passo 2

Primeiro, como a integral tem um limite inferior que vai para menos infinito, vamos reescrever a integral usando um limite:
lima to -infty integrala^3 1x^2+9 , dx
Isso nos ajuda a tratar a “infinidade” de forma matemática, permitindo calcular a integral de maneira apropriada.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a antiderivada da função integral 1x^2+a^2 , dx = 1a tan^-1(xa) + C . Sabemos que:
integral 1x^2+9 , dx = 13 tan^-1(x3) + C
No nosso caso, , então:

Passo 4

Com a antiderivada encontrada, aplicamos os limites de integração:
lima to -infty [ 13 tan^-1(x3) ]a^3
Primeiro, avaliamos na parte superior do limite:
13 tan^-1(33) = 13 tan^-1(1) = 13 cdot pi4 = pi12
Depois, avaliamos na parte inferior do limite (quando lima to -infty 13 tan^-1(a3) = 13 cdot (-pi2) = -pi6 ):
pi12 - (-pi6) = pi12 + pi6 = pi12 + 2pi12 = 3pi12 = pi4
Subtraindo os dois resultados:

Resposta

A integral imprópria
integral-infty^3 1x^2+9 , dx
converge e seu valor é
pi4

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