(b) Avalie se a integral imprópria
converge ou diverge. Se convergir determine seu valor.
Passo 1
Vamos analisar a integral imprópria
Aqui estamos lidando com uma integral imprópria porque um dos limites de integração vai até o infinito. O conteúdo principal envolve cálculo de integrais e, mais especificamente, integris que possuem limites infinitos. Para resolver isso, precisamos entender como transformar a integral em um limite e calcular seu valor final, verificando se ela converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito).
Passo 2
Primeiro, como a integral tem um limite inferior que vai para menos infinito, vamos reescrever a integral usando um limite:
Isso nos ajuda a tratar a “infinidade” de forma matemática, permitindo calcular a integral de maneira apropriada.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a antiderivada da função
. Sabemos que:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Com a antiderivada encontrada, aplicamos os limites de integração:
Primeiro, avaliamos na parte superior do limite:
Depois, avaliamos na parte inferior do limite (quando
):
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é