Estude a convergência das séries abaixo utilizando o Critério de Raabe:
sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots 2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer estudar se a série
sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots 2n
converge ou diverge usando o Critério de Raabe. A matéria aqui envolve séries infinitas e testes de convergência. Vamos precisar entender como aplicar o Critério de Raabe para essa série específica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série. O termo geral da série é:
an = 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots 2n
Essa fração pode ser reescrita usando o fatorial duplo:
an = (2n)!2^2n (n!)^2
Mas para facilitar, vamos considerar que:
an = (2n)!4^n (n!)^2

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Critério de Raabe. Esse critério é uma extensão do Teste da Razão e é útil para determinar a convergência de séries positivas. O Critério de Raabe diz que para a série R = limn to infty n ( anan+1 - 1 ) :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular anan+1 = (2n)!4^n (n!)^2(2(n+1))!4^n+1 ((n+1)!)^2 = (2n)! cdot 4^n+1 (n+1)^2(2n+2)(2n+1)(2n)! cdot 4^n :
anan+1 = 4 (n+1)^2(2n+2)(2n+1) = 4 (n+1)^24n^2 + 6n + 2
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do Critério de Raabe:
R = limn to infty n ( 4 (n+1)^24n^2 + 6n + 2 - 1 )
Vamos simplificar dentro do limite:
4 (n+1)^24n^2 + 6n + 2 - 1 = 4(n^2 + 2n + 1) - (4n^2 + 6n + 2)4n^2 + 6n + 2 = 4n^2 + 8n + 4 - 4n^2 - 6n - 24n^2 + 6n + 2 = 2n + 24n^2 + 6n + 2
Então:
R = limn to infty n cdot 2n + 24n^2 + 6n + 2

Passo 6

Dividimos numerador e denominador por R = limn to infty 2n^2 + 2n4n^2 + 6n + 2 = limn to infty 2 + 2n4 + 6n + 2n^2 = 24 = 12 :

Passo 7

De acordo com o Critério de Raabe:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
Aqui, , então a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Critério de Raabe.

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