Estude a convergência das séries abaixo utilizando o Critério de Raabe:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer estudar se a série
converge ou diverge usando o Critério de Raabe. A matéria aqui envolve séries infinitas e testes de convergência. Vamos precisar entender como aplicar o Critério de Raabe para essa série específica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série. O termo geral da série é:
Essa fração pode ser reescrita usando o fatorial duplo:
Mas para facilitar, vamos considerar que:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Critério de Raabe. Esse critério é uma extensão do Teste da Razão e é útil para determinar a convergência de séries positivas. O Critério de Raabe diz que para a série :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular :
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do Critério de Raabe:
Vamos simplificar dentro do limite:
Então:

Passo 6

Dividimos numerador e denominador por :

Passo 7

De acordo com o Critério de Raabe:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
Aqui, , então a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Critério de Raabe.

Exercícios relacionados

Estude a convergência das séries abaixo utilizando o Critério de Raabe:
Utilizando os testes da razão e da raiz, discuta para quais valores há convergência nas séries abaixo:
Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas: e e o eixo .
(b) Avalie se a integral imprópria
converge ou diverge. Se convergir determine seu valor.