Estude a convergência das séries abaixo utilizando o Critério de Raabe:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer estudar se a série
converge ou diverge usando o Critério de Raabe. A matéria aqui envolve séries infinitas e testes de convergência. Vamos precisar entender como aplicar o Critério de Raabe para essa série específica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série. O termo geral da série é:
Essa fração pode ser reescrita usando o fatorial duplo:
Mas para facilitar, vamos considerar que:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Critério de Raabe. Esse critério é uma extensão do Teste da Razão e é útil para determinar a convergência de séries positivas. O Critério de Raabe diz que para a série
:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula do Critério de Raabe:
Vamos simplificar dentro do limite:
Então:
Passo 6
Dividimos numerador e denominador por
:
Passo 7
De acordo com o Critério de Raabe:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
Aqui,
, então a série diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Critério de Raabe.
Exercícios relacionados
Estude a convergência das séries abaixo utilizando o Critério de Raabe:
Utilizando os testes da razão e da raiz, discuta para quais valores
há convergência nas séries abaixo:
Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas:
e e o eixo
.
(b) Avalie se a integral imprópria
converge ou diverge. Se convergir determine seu valor.