Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas: e e o eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está limitada por três curvas: , e o eixo (que é a linha onde ). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para encontrar a área entre essas curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde essas curvas se cruzam, ou seja, encontrar os pontos de interseção delas. Vamos igualar a :
Dividindo ambos os lados por :
Então, as curvas se encontram no ponto .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. Sabemos que o eixo é onde , e a curva cruza o eixo quando (porque quando ).
Portanto, os limites para vão de 0 a 1.

Passo 4

Para encontrar a área entre as curvas, vamos calcular a integral da função de a . A integral nesse intervalo vai nos dar a área desejada.
Á

Passo 5

Vamos resolver a integral usando o método de integração por partes. Nesse método, escolhemos partes da integral para atribuir a e :
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é igual a unidade quadrada.

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(b) Avalie se a integral imprópria
converge ou diverge. Se convergir determine seu valor.
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