Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas:
e e o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está limitada por três curvas:
,
e o eixo
(que é a linha onde
). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para encontrar a área entre essas curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde essas curvas se cruzam, ou seja, encontrar os pontos de interseção delas. Vamos igualar
a
:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, as curvas se encontram no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. Sabemos que o eixo
é onde
, e a curva
cruza o eixo
quando
(porque
quando
).
Portanto, os limites para
vão de 0 a 1.
Passo 4
Para encontrar a área entre as curvas, vamos calcular a integral da função
de
a
. A integral nesse intervalo vai nos dar a área desejada.
Passo 5
Vamos resolver a integral usando o método de integração por partes. Nesse método, escolhemos partes da integral para atribuir a
e
:
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Passo 6
Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é igual a
unidade quadrada.
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(b) Avalie se a integral imprópria
converge ou diverge. Se convergir determine seu valor.
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