Estude a convergência das séries abaixo utilizando o Critério de Raabe:
sumn=1^infty alpha(alpha-1)(alpha-2) cdots(alpha-n+1)n!, 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que estudar se a série sumn=1^infty alpha(alpha-1)(alpha-2) cdots (alpha-n+1)n! converge ou não, onde 0 < alpha < 1. Para isso, vamos usar o Critério de Raabe, que é uma ferramenta da matemática para verificar a convergência de séries infinitas. Vamos precisar entender como esse critério funciona e aplicá-lo passo a passo na nossa série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é o que está sendo somado de n=1 até o infinito. No nosso caso, o termo geral é:
an = alpha(alpha-1)(alpha-2) cdots (alpha-n+1)n!
Esse termo envolve produtos descendentes no numerador e o fatorial no denominador.

Passo 3

Agora, para aplicar o Critério de Raabe, a gente precisa calcular a razão entre termos consecutivos da série, ou seja, an+1/an. Vamos fazer isso:
an+1an = alpha(alpha-1)(alpha-2) cdots (alpha-(n+1)+1)(n+1)! div alpha(alpha-1)(alpha-2) cdots (alpha-n+1)n!
Simplificando, cancela tudo que é igual no numerador e denominador:
an+1an = alpha - (n+1) + 1n+1 = alpha - nn+1

Passo 4

Com essa razão, agora aplicamos o Critério de Raabe. A fórmula do Raabe é:
R = limn to infty n ( anan+1 - 1 )
Primeiro, vamos inverter a razão que encontramos para facilitar:
anan+1 = n+1alpha - n
Agora, substituímos na fórmula do Raabe:
R = limn to infty n ( n+1alpha - n - 1 )
Vamos simplificar dentro do limite:
n+1alpha - n - 1 = n+1 - (alpha - n)alpha - n = 2n +1 - alphaalpha - n = -2n +1 - alphan - alpha
Para grandes valores de n, os termos 1 e alpha são negligenciáveis, então:
R approx limn to infty n ( -2nn ) = limn to infty (-2n)

Passo 5

Agora, vamos avaliar o limite:
R = limn to infty (-2n) = -infty
Segundo o Critério de Raabe:
  • Se R > 1, a série converge.
  • Se R < 1, a série diverge.
  • Se R = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, R = -infty, que é menor que 1, então a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty alpha(alpha-1)(alpha-2) cdots (alpha-n+1)n! diverge para 0 < alpha < 1 segundo o Critério de Raabe.

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