Estude a convergência das séries abaixo utilizando o Critério de Raabe:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que estudar se a série
converge ou não, onde
. Para isso, vamos usar o Critério de Raabe, que é uma ferramenta da matemática para verificar a convergência de séries infinitas. Vamos precisar entender como esse critério funciona e aplicá-lo passo a passo na nossa série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é o que está sendo somado de
até o infinito. No nosso caso, o termo geral é:
Esse termo envolve produtos descendentes no numerador e o fatorial no denominador.
Passo 3
Agora, para aplicar o Critério de Raabe, a gente precisa calcular a razão entre termos consecutivos da série, ou seja,
. Vamos fazer isso:
Simplificando, cancela tudo que é igual no numerador e denominador:
Passo 4
Com essa razão, agora aplicamos o Critério de Raabe. A fórmula do Raabe é:
Primeiro, vamos inverter a razão que encontramos para facilitar:
Agora, substituímos na fórmula do Raabe:
Vamos simplificar dentro do limite:
Para grandes valores de
, os termos
e
são negligenciáveis, então:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o limite:
Segundo o Critério de Raabe:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
, que é menor que 1, então a série diverge.
Resposta
A série
diverge para
segundo o Critério de Raabe.
Exercícios relacionados
(b) Avalie se a integral imprópria
converge ou diverge. Se convergir determine seu valor.
Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas:
e e o eixo
.
Utilizando o Critério de De Morgan, verifique se a série
converge ou diverge.
Determine se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, e calcule o limite caso seja convergente.