Estude a convergência das séries abaixo utilizando o Critério de Raabe:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que estudar se a série converge ou não, onde . Para isso, vamos usar o Critério de Raabe, que é uma ferramenta da matemática para verificar a convergência de séries infinitas. Vamos precisar entender como esse critério funciona e aplicá-lo passo a passo na nossa série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é o que está sendo somado de até o infinito. No nosso caso, o termo geral é:
Esse termo envolve produtos descendentes no numerador e o fatorial no denominador.

Passo 3

Agora, para aplicar o Critério de Raabe, a gente precisa calcular a razão entre termos consecutivos da série, ou seja, . Vamos fazer isso:
Simplificando, cancela tudo que é igual no numerador e denominador:

Passo 4

Com essa razão, agora aplicamos o Critério de Raabe. A fórmula do Raabe é:
Primeiro, vamos inverter a razão que encontramos para facilitar:
Agora, substituímos na fórmula do Raabe:
Vamos simplificar dentro do limite:
Para grandes valores de , os termos e são negligenciáveis, então:

Passo 5

Agora, vamos avaliar o limite:
Segundo o Critério de Raabe:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , que é menor que 1, então a série diverge.

Resposta

A série diverge para segundo o Critério de Raabe.

Exercícios relacionados

(b) Avalie se a integral imprópria
converge ou diverge. Se convergir determine seu valor.
Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas: e e o eixo .
Utilizando o Critério de De Morgan, verifique se a série
converge ou diverge.
Determine se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, e calcule o limite caso seja convergente.