Utilizando o Critério de De Morgan, verifique se a série
sumk=1^infty 5 cdot 7 cdot 9 cdots(2 k+3)2 cdot 4 cdot 6 cdots 2 k
converge ou diverge.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita com termos da forma:
sumk=1^infty 5 cdot 7 cdot 9 cdots(2k+3)2 cdot 4 cdot 6 cdots 2k
O objetivo é verificar se essa série converge ou diverge utilizando o Critério de De Morgan. Para isso, vamos precisar analisar o comportamento dos termos da série conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do termo geral da série. Observamos que o numerador é o produto de números ímpares a partir de 5 até ak = 5 cdot 7 cdot 9 cdots (2k+3)2 cdot 4 cdot 6 cdots 2k , e o denominador é o produto de números pares até .
Podemos reescrever o termo geral da série como:

Passo 3

Para aplicar o Critério de De Morgan, precisamos comparar o termo geral da nossa série com o termo de uma série conhecida que seja mais fácil de analisar. Neste caso, vamos simplificar para facilitar a comparação.
Observamos que tanto o numerador quanto o denominador são produtos de termos que aumentam com . Vamos tentar expressar esses produtos de uma forma que possamos analisar o limite dos termos.

Passo 4

Vamos analisar o limite do termo geral limk to infty ak = limk to infty 5 cdot 7 cdot 9 cdots (2k+3)2 cdot 4 cdot 6 cdots 2k conforme limk to infty ak >= limk to infty 1 = 1 tende ao infinito:
Percebemos que, conforme aumenta, cada termo do numerador é maior que o termo correspondente do denominador (por exemplo, , , etc.). Isso faz com que cada fração seja maior que 1 para suficientemente grande.
Portanto, o limite do termo geral é:

Resposta

Como o limite do termo geral não tende a zero (na verdade, tende a um valor maior ou igual a 1), pela aplicação do Critério de De Morgan, a série diverge.

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