Utilizando o Critério de De Morgan, verifique se a série
converge ou diverge.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita com termos da forma:
O objetivo é verificar se essa série converge ou diverge utilizando o Critério de De Morgan. Para isso, vamos precisar analisar o comportamento dos termos da série conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do termo geral da série. Observamos que o numerador é o produto de números ímpares a partir de 5 até
, e o denominador é o produto de números pares até
.
Podemos reescrever o termo geral
da série como:
Passo 3
Para aplicar o Critério de De Morgan, precisamos comparar o termo geral da nossa série com o termo de uma série conhecida que seja mais fácil de analisar. Neste caso, vamos simplificar
para facilitar a comparação.
Observamos que tanto o numerador quanto o denominador são produtos de termos que aumentam com
. Vamos tentar expressar esses produtos de uma forma que possamos analisar o limite dos termos.
Passo 4
Vamos analisar o limite do termo geral
conforme
tende ao infinito:
Percebemos que, conforme
aumenta, cada termo do numerador é maior que o termo correspondente do denominador (por exemplo,
,
, etc.). Isso faz com que cada fração
seja maior que 1 para
suficientemente grande.
Portanto, o limite do termo geral é:
Resposta
Como o limite do termo geral
não tende a zero (na verdade, tende a um valor maior ou igual a 1), pela aplicação do Critério de De Morgan, a série diverge.
Exercícios relacionados
Estude a convergência das séries abaixo utilizando o Critério de Raabe:
(b) Avalie se a integral imprópria
converge ou diverge. Se convergir determine seu valor.
Determine se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, e calcule o limite caso seja convergente.
Considere as funções
e
, definidas no intervalo
. Determine a área da região limitada pelos gráficos de f e
.