Se é uma base de um espaço vetorial , qual é a matriz de mudança da base para a base ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me perguntou sobre como encontrar a matriz de mudança de base de uma base para outra base em um espaço vetorial . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre mudanças de base. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são bases, vetores em diferentes bases e como converter coordenadas de uma base para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a matriz de mudança de base de para . Isso significa que queremos uma matriz que, quando multiplicada pelas coordenadas de um vetor em relação à base , nos dê as coordenadas desse mesmo vetor em relação à base .

Passo 4

Para construir essa matriz, vamos precisar das expressões dos vetores da base escritos em termos da base . Isso significa que cada vetor de será representado como uma combinação linear dos vetores de .

Passo 5

Vamos denotar os vetores da base como e os vetores da base como . Para cada , encontramos os coeficientes tais que:

Passo 6

Esses coeficientes formam as colunas da matriz de mudança de base. Ou seja, a matriz de mudança de base é construída colocando cada vetor (escrito em coordenadas de ) como uma coluna da matriz.

Passo 7

Portanto, a matriz de mudança de base fica assim:
Onde cada coluna representa o vetor na base .

Resposta

A matriz de mudança de base de para é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores da base expressas na base . Em notação matemática:

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Determine condições sobre o parâmetro de modo que o sistema:
(a) possua única solução;
Calcular o determinante de cada matriz abaixo indicada e determinar o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s) para que as matrizes sejam invertíveis
Seja a matriz:
(b) (10 pontos) Se , calcule utilizando as propriedades do determinante.
Classifique os itens em verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
(b) (7 pontos) Considere o sistema linear . Se a matriz aumentada do sistema, , tem posto igual ao posto de , então o sistema é possível e determinado.