Se B é uma base de um espaço vetorial V, qual é a matriz de mudança da base B para a base B ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me perguntou sobre como encontrar a matriz de mudança de base de uma base para outra base em um espaço vetorial . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre mudanças de base. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são bases, vetores em diferentes bases e como converter coordenadas de uma base para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a matriz de mudança de base de para . Isso significa que queremos uma matriz que, quando multiplicada pelas coordenadas de um vetor em relação à base , nos dê as coordenadas desse mesmo vetor em relação à base .

Passo 4

Para construir essa matriz, vamos precisar das expressões dos vetores da base escritos em termos da base . Isso significa que cada vetor de será representado como uma combinação linear dos vetores de .

Passo 5

Vamos denotar os vetores da base ci = a1i b1 + a2i b2 + ldots + ani bn como e os vetores da base como . Para cada , encontramos os coeficientes tais que:

Passo 6

Esses coeficientes formam as colunas da matriz de mudança de base. Ou seja, a matriz de mudança de base é construída colocando cada vetor (escrito em coordenadas de ) como uma coluna da matriz.

Passo 7

Portanto, a matriz de mudança de base PB to B = a11 & a12 & cdots & a1n a21 & a22 & cdots & a2n vdots & vdots & ddots & vdots an1 & an2 & cdots & ann fica assim:
a1i a2i vdots ani
Onde cada coluna representa o vetor na base .

Resposta

A matriz de mudança de base de PB to B = a11 & a12 & cdots & a1n a21 & a22 & cdots & a2n vdots & vdots & ddots & vdots an1 & an2 & cdots & ann para é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores da base expressas na base . Em notação matemática:

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