Se é uma base de um espaço vetorial , qual é a matriz de mudança da base para a base ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me perguntou sobre como encontrar a matriz de mudança de base de uma base para outra base em um espaço vetorial . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre mudanças de base. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são bases, vetores em diferentes bases e como converter coordenadas de uma base para outra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base .
Passo 3
Agora, queremos encontrar a matriz de mudança de base de para . Isso significa que queremos uma matriz que, quando multiplicada pelas coordenadas de um vetor em relação à base , nos dê as coordenadas desse mesmo vetor em relação à base .
Passo 4
Para construir essa matriz, vamos precisar das expressões dos vetores da base escritos em termos da base . Isso significa que cada vetor de será representado como uma combinação linear dos vetores de .
Passo 5
Vamos denotar os vetores da base como e os vetores da base como . Para cada , encontramos os coeficientes tais que:
Passo 6
Esses coeficientes formam as colunas da matriz de mudança de base. Ou seja, a matriz de mudança de base é construída colocando cada vetor (escrito em coordenadas de ) como uma coluna da matriz.
Passo 7
Portanto, a matriz de mudança de base fica assim:
Onde cada coluna representa o vetor na base .
Resposta
A matriz de mudança de base de para é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores da base expressas na base . Em notação matemática: