Determine condições sobre o parâmetro de modo que o sistema:
(a) possua única solução;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas ( , e ) e um parâmetro . O objetivo é descobrir quais valores de fazem com que esse sistema tenha apenas uma solução. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz de coeficientes. Isso vai ajudar a calcular o determinante, que é a chave para saber se o sistema tem uma única solução.
A matriz de coeficientes ( ) é:

Passo 3

Para que o sistema tenha uma única solução, o determinante da matriz de coeficientes ( ) precisa ser diferente de zero. Vamos calcular esse determinante.
O determinante de uma matriz é dado por:
Aplicando isso na nossa matriz:

Passo 4

Vamos simplificar cada parte passo a passo.
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:

Passo 5

Agora, somamos todos os termos para encontrar o determinante:
Simplificando:

Passo 6

Queremos que o determinante seja diferente de zero para garantir uma única solução:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -2:
Vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores que tornam o determinante zero.
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então:

Resposta

Para que o sistema tenha uma única solução, o parâmetro deve ser diferente de 1 e -5. Ou seja, e .

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