Determine condições sobre o parâmetro de modo que o sistema:
(a) possua única solução;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas (x, y e z) e um parâmetro k. O objetivo é descobrir quais valores de k fazem com que esse sistema tenha apenas uma solução. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz de coeficientes. Isso vai ajudar a calcular o determinante, que é a chave para saber se o sistema tem uma única solução.
- x + 4 y + 2 z = 3 3 x - 10 y + z = -18 -2 x + 10 y + (k^2 + 4k + 6) z = k + 2
A matriz de coeficientes (A) é:
A = -1 & 4 & 2 3 & -10 & 1 -2 & 10 & k^2 + 4k + 6
Passo 3
Para que o sistema tenha uma única solução, o determinante da matriz de coeficientes (det(A)) precisa ser diferente de zero. Vamos calcular esse determinante.
O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por: