Determine condições sobre o parâmetro k de modo que o sistema:
(a) possua única solução;
ccccc -x+4 y+ & 2 z & = & 3 3 x-10 y+ & z & = & -18 -2 x+10 y+ & (k^2+4 k+6) z & = & k+2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y e z) e um parâmetro k. O objetivo é descobrir quais valores de k fazem com que esse sistema tenha apenas uma solução. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz de coeficientes. Isso vai ajudar a calcular o determinante, que é a chave para saber se o sistema tem uma única solução.
- x + 4 y + 2 z = 3 3 x - 10 y + z = -18 -2 x + 10 y + (k^2 + 4k + 6) z = k + 2
A matriz de coeficientes ( A) é:
A = -1 & 4 & 2 3 & -10 & 1 -2 & 10 & k^2 + 4k + 6

Passo 3

Para que o sistema tenha uma única solução, o determinante da matriz de coeficientes ( det(A)) precisa ser diferente de zero. Vamos calcular esse determinante.
O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = (-1)[(-10)(k^2 + 4k + 6) - (1)(10)] - 4[(3)(k^2 + 4k + 6) - (1)(-2)] + 2[(3)(10) - (-10)(-2)]

Passo 4

Vamos simplificar cada parte passo a passo.
Primeiro termo:
(-1)[-10(k^2 + 4k + 6) - 10] = (-1)[-10k^2 - 40k - 60 - 10] = (-1)(-10k^2 - 40k - 70) = 10k^2 + 40k + 70
Segundo termo:
-4[(3)(k^2 + 4k + 6) + 2] = -4[3k^2 + 12k + 18 + 2] = -4[3k^2 + 12k + 20] = -12k^2 - 48k - 80
Terceiro termo:
2[(30) - (20)] = 2[10] = 20

Passo 5

Agora, somamos todos os termos para encontrar o determinante:
det(A) = (10k^2 + 40k + 70) + (-12k^2 - 48k - 80) + 20
Simplificando:
det(A) = (10k^2 - 12k^2) + (40k - 48k) + (70 - 80 + 20) det(A) = -2k^2 - 8k + 10

Passo 6

Queremos que o determinante seja diferente de zero para garantir uma única solução:
-2k^2 - 8k + 10 neq 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -2:
k^2 + 4k - 5 neq 0
Vamos resolver a equação quadrática k^2 + 4k - 5 = 0 para encontrar os valores que tornam o determinante zero.
Usando a fórmula de Bhaskara:
k = -b pm raizb^2 - 4ac2a a = 1, b = 4, c = -5 k = -4 pm raiz16 + 202 = -4 pm raiz362 = -4 pm 62
Então:
k1 = -4 + 62 = 1 k2 = -4 - 62 = -5

Resposta

Para que o sistema tenha uma única solução, o parâmetro k deve ser diferente de 1 e -5. Ou seja, k neq 1 e k neq -5.

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