Classifique os itens em verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
(b) (7 pontos) Considere o sistema linear . Se a matriz aumentada do sistema, , tem posto igual ao posto de , então o sistema é possível e determinado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre sistemas lineares da forma . A gente precisa decidir se a afirmação “Se a matriz aumentada do sistema, , tem o mesmo posto que a matriz , então o sistema é possível e determinado” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como posto de matriz e sistemas lineares consistentes ou determinados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o posto de uma matriz. O posto de uma matriz é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes nessa matriz. Basicamente, ele nos diz quantas informações únicas a matriz tem.
A matriz aumentada é formada juntando a matriz dos coeficientes com a coluna dos termos constantes . Isso ajuda a analisar o sistema de equações como um todo.

Passo 3

Quando comparamos o posto da matriz com o posto da matriz aumentada , estamos verificando se as equações no sistema são compatíveis ou não.
  • Se : O sistema é consistente, ou seja, tem pelo menos uma soluç��o.
  • Se : O sistema é inconsistente, não tendo solução.

Passo 4

Agora, sobre ser determinado: um sistema é determinado quando tem exatamente uma solução. Isso acontece quando o posto da matriz é igual ao número de variáveis do sistema. Se o posto for menor, pode haver infinitas soluções.
Então, só saber que nos garante que o sistema é consistente, mas não necessariamente que ele é determinado. Para ser determinado, além dessa igualdade, o posto precisa ser igual ao número de variáveis.

Passo 5

A afirmação diz que se , então o sistema é possível e determinado. Mas, como vimos, isso só garante que o sistema é possível (consistente). Para ser determinado, precisamos de uma informação extra: que o posto seja igual ao número de variáveis.
Portanto, a afirmação não é completamente verdadeira.

Resposta

Falso. A igualdade dos postos garante que o sistema é consistente, mas não necessariamente que tem uma única solução.

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Seja a matriz:
(b) (10 pontos) Se , calcule utilizando as propriedades do determinante.
Se é uma base de um espaço vetorial , qual é a matriz de mudança da base para a base ?
(b) * Encontre as matrizes de mudança da base para a base ; da base para a base e da base para a base .
Classifique os itens em verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
© (7 pontos) Se e , então é inversível.