Seja a matriz:
(b) (10 pontos) Se , calcule utilizando as propriedades do determinante.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente tem uma matriz e uma outra matriz definida por . Nosso objetivo aqui é calcular o determinante de , ou seja, , utilizando as propriedades dos determinantes. Para isso, vamos precisar entender algumas regras básicas sobre determinantes de matrizes, como determinante de um produto, de uma matriz transposta, de uma matriz elevada a uma potência e de uma matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar algumas propriedades importantes dos determinantes:
  1. Determinante de um produto: .
  2. Determinante de uma matriz transposta: .
  3. Determinante de uma potência de matriz: .
  4. Determinante de uma matriz inversa: .
  5. Determinante de um escalar multiplicando a matriz: , onde é a ordem da matriz.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas propriedades para simplificar . Primeiro, observamos que é um produto de várias matrizes e um escalar. Então, aplicamos a propriedade do determinante de um produto:
Aqui, é a ordem da matriz . Pela matriz dada, é 4x4, então .

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
  • Novamente,
Substituindo na expressão:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos calcular . A matriz é triangular superior, o que facilita o cálculo do determinante, pois é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

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Se é uma base de um espaço vetorial , qual é a matriz de mudança da base para a base ?
Determine condições sobre o parâmetro de modo que o sistema:
(a) possua única solução;
Classifique os itens em verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
(b) (7 pontos) Considere o sistema linear . Se a matriz aumentada do sistema, , tem posto igual ao posto de , então o sistema é possível e determinado.
(b) * Encontre as matrizes de mudança da base para a base ; da base para a base e da base para a base .