Seja A a matriz:
(b) (10 pontos) Se B=-13 A^-1 A^t A^3 A^-1, calcule det B utilizando as propriedades do determinante.
A=(rrrr 2 & 1 & 2 & 4 0 & 1 & -2 & 3 0 & 0 & -1 & 5 0 & 0 & 0 & 3 )

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente tem uma matriz e uma outra matriz definida por . Nosso objetivo aqui é calcular o determinante de , ou seja, , utilizando as propriedades dos determinantes. Para isso, vamos precisar entender algumas regras básicas sobre determinantes de matrizes, como determinante de um produto, de uma matriz transposta, de uma matriz elevada a uma potência e de uma matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar algumas propriedades importantes dos determinantes:
  1. Determinante de um produto: .
  2. Determinante de uma matriz transposta: .
  3. Determinante de uma potência de matriz: .
  4. Determinante de uma matriz inversa: .
  5. Determinante de um escalar multiplicando a matriz: , onde é a ordem da matriz.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas propriedades para simplificar det(B) = det( -13 A^-1 A^t A^3 A^-1 ) = (-13)^n det(A^-1) det(A^t) det(A^3) det(A^-1) . Primeiro, observamos que é um produto de várias matrizes e um escalar. Então, aplicamos a propriedade do determinante de um produto:
Aqui, é a ordem da matriz . Pela matriz dada, é 4x4, então .

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
  • det(B) = (-13)^4 times 1det(A) times det(A) times (det(A))^3 times 1det(A)
  • det(B) = (13)^4 times (det(A))^( -1 + 1 + 3 -1) = (13)^4 times (det(A))^2
  • Novamente,
Substituindo na expressão:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos calcular det(A) = 2 times 1 times (-1) times 3 = -6 . A matriz det(B) = (13)^4 times (-6)^2 = 181 times 36 = 3681 = 49 é triangular superior, o que facilita o cálculo do determinante, pois é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

det B = 49

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