Seja a matriz:
(b) (10 pontos) Se , calcule utilizando as propriedades do determinante.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente tem uma matriz e uma outra matriz definida por . Nosso objetivo aqui é calcular o determinante de , ou seja, , utilizando as propriedades dos determinantes. Para isso, vamos precisar entender algumas regras básicas sobre determinantes de matrizes, como determinante de um produto, de uma matriz transposta, de uma matriz elevada a uma potência e de uma matriz inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar algumas propriedades importantes dos determinantes:
Determinante de um produto: .
Determinante de uma matriz transposta: .
Determinante de uma potência de matriz: .
Determinante de uma matriz inversa: .
Determinante de um escalar multiplicando a matriz: , onde é a ordem da matriz.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas propriedades para simplificar det(B) = det( -13 A^-1 A^t A^3 A^-1 ) = (-13)^n det(A^-1) det(A^t) det(A^3) det(A^-1) . Primeiro, observamos que é um produto de várias matrizes e um escalar. Então, aplicamos a propriedade do determinante de um produto:
Aqui, é a ordem da matriz . Pela matriz dada, é 4x4, então .
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente:
det(B) = (-13)^4 times 1det(A) times det(A) times (det(A))^3 times 1det(A)
det(B) = (13)^4 times (det(A))^( -1 + 1 + 3 -1) = (13)^4 times (det(A))^2
Novamente,
Substituindo na expressão:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos calcular det(A) = 2 times 1 times (-1) times 3 = -6 . A matriz det(B) = (13)^4 times (-6)^2 = 181 times 36 = 3681 = 49 é triangular superior, o que facilita o cálculo do determinante, pois é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal: