Para , considere a relação de ordem de . Sejam e . Encontre todas as cotas inferiores de . Determine , se existir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre conjuntos e relações de ordem no conjunto das partes de . Especificamente, temos duas subconjuntos e . Nosso objetivo é encontrar todas as cotas inferiores de e determinar o infimum desse conjunto, se ele existir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma cota inferior. Em termos simples, uma cota inferior para é um conjunto que está contido em ambos e . Ou seja, se é uma cota inferior, então e .

Passo 3

Agora, vamos identificar todas as cotas inferiores possíveis. Para isso, precisamos encontrar todos os conjuntos que são subconjuntos comuns a e .
Conjuntos de :
  • (conjunto vazio)
Conjuntos de :
Agora, vamos ver quais desses conjuntos aparecem em ambos:
Então, as cotas inferiores de são , , e .

Passo 4

O próximo passo é encontrar o infimum dessas cotas inferiores. O infimum é a maior cota inferior, ou seja, o conjunto que contém todas as outras cotas inferiores. Para identificar isso, observamos que é o maior conjunto entre as cotas inferiores que encontramos.

Passo 5

Portanto, o infimum de existe e é o conjunto .

Resposta

As cotas inferiores de são , , e . O infimum de é .

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(b) ;
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