Para , considere a relação de ordem de . Sejam e . Encontre todas as cotas inferiores de . Determine , se existir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre conjuntos e relações de ordem no conjunto das partes de . Especificamente, temos duas subconjuntos e . Nosso objetivo é encontrar todas as cotas inferiores de e determinar o infimum desse conjunto, se ele existir.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma cota inferior. Em termos simples, uma cota inferior para é um conjunto que está contido em ambos e . Ou seja, se é uma cota inferior, então e .
Passo 3
Agora, vamos identificar todas as cotas inferiores possíveis. Para isso, precisamos encontrar todos os conjuntos que são subconjuntos comuns a e .
Conjuntos de :
(conjunto vazio)
Conjuntos de :
Agora, vamos ver quais desses conjuntos aparecem em ambos:
Então, as cotas inferiores de são , , e .
Passo 4
O próximo passo é encontrar o infimum dessas cotas inferiores. O infimum é a maior cota inferior, ou seja, o conjunto que contém todas as outras cotas inferiores. Para identificar isso, observamos que é o maior conjunto entre as cotas inferiores que encontramos.
Passo 5
Portanto, o infimum de existe e é o conjunto .
Resposta
As cotas inferiores de são , , e . O infimum de é .