Determine os valores de para que o sistema tenha infinitas soluções, e obtenha sua solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas (x, y, z). A questão quer saber para quais valores de a esse sistema tem infinitas soluções e também quer a solução geral desse sistema. Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares, matrizes e determinantes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
Isso vai nos ajudar a aplicar operações de linha para simplificar o sistema.
Passo 3
Vamos usar o método de eliminação de Gauss para reduzir a matriz. Começamos pela primeira linha. Queremos eliminar o 2x da segunda linha e o 1x da terceira linha.
Para que o sistema tenha infinitas soluções, precisamos que o terceiro pivô seja zero, ou seja, que a - 7 = 0. Assim:
a - 7 = 0 implies a = 7
Quando a = 7, a terceira equação não adiciona nenhuma nova informação, e temos um sistema com duas equações independentes e três incógnitas, o que resulta em infinitas soluções.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a solução geral para a = 7. Com a = 7, a matriz reduzida fica: