Determine os valores de a para que o sistema x+2 y-z & =0 2 x-y+3 z & =0 x+a y-6 z & =0 tenha infinitas soluções, e obtenha sua solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas ( x, y, z). A questão quer saber para quais valores de a esse sistema tem infinitas soluções e também quer a solução geral desse sistema. Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares, matrizes e determinantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
1 & 2 & -1 & | & 0 2 & -1 & 3 & | & 0 1 & a & -6 & | & 0
Isso vai nos ajudar a aplicar operações de linha para simplificar o sistema.

Passo 3

Vamos usar o método de eliminação de Gauss para reduzir a matriz. Começamos pela primeira linha. Queremos eliminar o 2x da segunda linha e o 1x da terceira linha.
Para a segunda linha: L2' = L2 - 2L1.
L2' &= (2, -1, 3) - 2 times (1, 2, -1) &= (2 - 2, -1 - 4, 3 - (-2)) &= (0, -5, 5)
Para a terceira linha: L3' = L3 - L1.
L3' &= (1, a, -6) - (1, 2, -1) &= (0, a - 2, -5)
A matriz fica assim:
1 & 2 & -1 & | & 0 0 & -5 & 5 & | & 0 0 & a-2 & -5 & | & 0

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por -5 para facilitar os cálculos:
L2'' = 1-5 L2' = (0, 1, -1)
A matriz fica:
1 & 2 & -1 & | & 0 0 & 1 & -1 & | & 0 0 & a-2 & -5 & | & 0

Passo 5

Em seguida, vamos eliminar o termo a-2 da terceira linha usando a segunda linha:
L3' = L3 - (a-2)L2''
L3' &= (0, a-2, -5) - (a-2)(0, 1, -1) &= (0, a-2 - (a-2), -5 - ( - (a-2))) &= (0, 0, -5 + a - 2) &= (0, 0, a - 7)
A matriz agora é:
1 & 2 & -1 & | & 0 0 & 1 & -1 & | & 0 0 & 0 & a-7 & | & 0

Passo 6

Para que o sistema tenha infinitas soluções, precisamos que o terceiro pivô seja zero, ou seja, que a - 7 = 0. Assim:
a - 7 = 0 implies a = 7
Quando a = 7, a terceira equação não adiciona nenhuma nova informação, e temos um sistema com duas equações independentes e três incógnitas, o que resulta em infinitas soluções.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a solução geral para a = 7. Com a = 7, a matriz reduzida fica:
1 & 2 & -1 & | & 0 0 & 1 & -1 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0
Isso nos dá as equações:
x + 2y - z = 0 y - z = 0 0 = 0
Da segunda equação, temos y = z. Substituindo na primeira equação:
x + 2z - z = 0 implies x + z = 0 implies x = -z

Resposta

Para a = 7, o sistema tem infinitas soluções. A solução geral é:
x = -t y = t z = t
onde t é qualquer número real.

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