Sejam
e
vetores unitários e perpendiculares,
e
. Calcule:
(a)
e
;
(b)
;
© o ângulo entre
e
.
(a)
(b)
© o ângulo entre
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem dois vetores,
e
, que são unitários e perpendiculares entre si. A gente define dois outros vetores,
e
. A missão aqui é:
(a) Calcular as normas (ou tamanhos) de
e
.
(b) Calcular o produto escalar entre
e
.
© Descobrir o ângulo entre
e
.
Vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial como norma de vetores, produto escalar e a relação entre o produto escalar e o ângulo entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a norma de
e
. A norma de um vetor, que a gente denota por
, é basicamente o comprimento desse vetor. Para calcular a norma de
, usamos a fórmula:
Como
e
são unitários e perpendiculares, a gente sabe que
,
e
. Então, expandindo o produto escalar:
O mesmo vale para
:
Passo 3
Agora, vamos ao produto escalar entre
e
. O produto escalar
é dado por:
Expandindo esse produto:
Lembrando que
,
e
:
Passo 4
Por último, vamos encontrar o ângulo
entre os vetores
e
. A relação entre o produto escalar e o ângulo é dada por:
Já temos
,
e
calculados. Então, isolando
:
E para achar o ângulo:
Resposta
(a) As normas são
e
.
(b) O produto escalar é
.
© O ângulo entre
e
é
.