Sejam e vetores unitários e perpendiculares, e . Calcule:
(a) e ;
(b) ;
© o ângulo entre e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem dois vetores, e , que são unitários e perpendiculares entre si. A gente define dois outros vetores, e . A missão aqui é:
(a) Calcular as normas (ou tamanhos) de e .
(b) Calcular o produto escalar entre e .
© Descobrir o ângulo entre e .
Vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial como norma de vetores, produto escalar e a relação entre o produto escalar e o ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a norma de e . A norma de um vetor, que a gente denota por , é basicamente o comprimento desse vetor. Para calcular a norma de , usamos a fórmula:
Como e são unitários e perpendiculares, a gente sabe que , e . Então, expandindo o produto escalar:
O mesmo vale para :

Passo 3

Agora, vamos ao produto escalar entre e . O produto escalar é dado por:
Expandindo esse produto:
Lembrando que , e :

Passo 4

Por último, vamos encontrar o ângulo entre os vetores e . A relação entre o produto escalar e o ângulo é dada por:
Já temos , e calculados. Então, isolando :
E para achar o ângulo:

Resposta

(a) As normas são e .
(b) O produto escalar é .
© O ângulo entre e é .

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