Sejam u e v vetores unitários e perpendiculares, w=a1 u+b1 v e z=a2 u+b2 v. Calcule:
(a) |w| e |z|;
(b) w cdot z;
© o ângulo entre w e z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem dois vetores, e , que são unitários e perpendiculares entre si. A gente define dois outros vetores, e . A missão aqui é:
(a) Calcular as normas (ou tamanhos) de e .
(b) Calcular o produto escalar entre e .
© Descobrir o ângulo entre e .
Vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial como norma de vetores, produto escalar e a relação entre o produto escalar e o ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a norma de |w| = raiz(a1 u + b1 v) cdot (a1 u + b1 v) e |w| = raiza1^2 (u cdot u) + 2 a1 b1 (u cdot v) + b1^2 (v cdot v) = raiza1^2 + b1^2 . A norma de um vetor, que a gente denota por |z| = raiza2^2 + b2^2 , é basicamente o comprimento desse vetor. Para calcular a norma de , usamos a fórmula:
Como e são unitários e perpendiculares, a gente sabe que , e . Então, expandindo o produto escalar:
O mesmo vale para :

Passo 3

Agora, vamos ao produto escalar entre w cdot z = (a1 u + b1 v) cdot (a2 u + b2 v) e w cdot z = a1 a2 (u cdot u) + a1 b2 (u cdot v) + b1 a2 (v cdot u) + b1 b2 (v cdot v) . O produto escalar w cdot z = a1 a2 + b1 b2 é dado por:
Expandindo esse produto:
Lembrando que , e :

Passo 4

Por último, vamos encontrar o ângulo w cdot z = |w| |z| cos(theta) entre os vetores cos(theta) = w cdot z|w| |z| e theta = arccos( w cdot z|w| |z| ) . A relação entre o produto escalar e o ângulo é dada por:
Já temos , e calculados. Então, isolando :
E para achar o ângulo:

Resposta

(a) As normas são e .
(b) O produto escalar é .
© O ângulo entre e é .

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