Determine as equações das retas paralelas à reta r: 2 x+3 y-1=0 que distam raiz13 de r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as equações das retas paralelas à reta que estão a uma distância de dessa reta. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre retas paralelas e distância entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o coeficiente angular da reta m = -23 . A equação da reta está na forma geral , onde , e . O coeficiente angular de uma reta nessa forma é dado por . Então:
Isso significa que qualquer reta paralela a também terá o coeficiente angular .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular a distância entre duas retas paralelas. A fórmula para a distância d = |C2 - C1|raizA^2 + B^2 entre duas retas e é:
No nosso caso, queremos que . Vamos aplicar essa fórmula para encontrar o valor de que define as retas desejadas.

Passo 4

Substituindo na fórmula, temos:
raiz13 = |C2 - (-1)|raiz2^2 + 3^2 Rightarrow raiz13 = |C2 + 1|raiz4 + 9 Rightarrow raiz13 = |C2 + 1|raiz13
Multiplicando ambos os lados por (raiz13) times raiz13 = |C2 + 1| Rightarrow 13 = |C2 + 1| :

Passo 5

Resolvendo a equação , temos duas possibilidades:

Passo 6

Com os valores de 2x + 3y + 12 = 0 Rightarrow 2x + 3y = -12 encontrados, podemos escrever as equações das retas paralelas a 2x + 3y - 14 = 0 Rightarrow 2x + 3y = 14 :
  1. Quando :
  1. Quando :

Resposta

As equações das retas paralelas a 2x + 3y = -12 e 2x + 3y = 14 que estão a uma distância de de são:

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