Se
e
são conjuntos, temos que
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se, para quaisquer conjuntos
e
, a expressão
é igual a
. O conteúdo principal aqui é a diferença simétrica de conjuntos, simbolizada por
. Para resolver, vamos usar as propriedades da diferença simétrica, como a comutatividade e a associatividade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é diferença simétrica. Para dois conjuntos
e
, a diferença simétrica
é o conjunto dos elementos que estão em
ou em
, mas não em ambos. Em termos de fórmula:
Isso também pode ser expresso como:
Passo 3
Sabendo disso, vamos analisar a expressão
. Primeiro, calculamos
e
, e depois aplicamos a diferença simétrica entre esses dois resultados.
Por outro lado, na expressão
, fazemos o mesmo processo, mas trocando as posições de
e
.
Passo 4
Para verificar se as duas expressões são iguais, vamos usar as propriedades da diferença simétrica:
- Comutatividade:
- Associatividade:
Essas propriedades nos permitem reordenar os termos sem mudar o resultado final.
Passo 5
Aplicando a associatividade, podemos reescrever
como
. Da mesma forma,
também se torna
.
Usando a comutatividade, sabemos que a ordem dos termos não altera o resultado, então
.
Passo 6
Como conseguimos mostrar que ambas as expressões podem ser reorganizadas para
graças às propriedades da diferença simétrica, concluímos que:
Resposta
Sim, para quaisquer conjuntos
e
, temos que
.
Exercícios relacionados
Mostre que
.
Obtenha o que se pede.
Considere os pontos e
. Encontre a derivada direcional da função
na direção da bissetriz do ângulo
.
Considere os pontos
Considere
para
. Encontre
Considere
e
. Encontre
.