Se e são conjuntos, temos que ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se, para quaisquer conjuntos e , a expressão é igual a . O conteúdo principal aqui é a diferença simétrica de conjuntos, simbolizada por . Para resolver, vamos usar as propriedades da diferença simétrica, como a comutatividade e a associatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é diferença simétrica. Para dois conjuntos e , a diferença simétrica é o conjunto dos elementos que estão em ou em , mas não em ambos. Em termos de fórmula:
Isso também pode ser expresso como:

Passo 3

Sabendo disso, vamos analisar a expressão . Primeiro, calculamos e , e depois aplicamos a diferença simétrica entre esses dois resultados.
Por outro lado, na expressão , fazemos o mesmo processo, mas trocando as posições de e .

Passo 4

Para verificar se as duas expressões são iguais, vamos usar as propriedades da diferença simétrica:
  1. Comutatividade:
  2. Associatividade:
Essas propriedades nos permitem reordenar os termos sem mudar o resultado final.

Passo 5

Aplicando a associatividade, podemos reescrever como . Da mesma forma, também se torna .
Usando a comutatividade, sabemos que a ordem dos termos não altera o resultado, então .

Passo 6

Como conseguimos mostrar que ambas as expressões podem ser reorganizadas para graças às propriedades da diferença simétrica, concluímos que:

Resposta

Sim, para quaisquer conjuntos e , temos que .

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.