Obtenha o que se pede.
Considere os pontos
e
. Encontre a derivada direcional da função
na direção da bissetriz do ângulo
.
Considere os pontos
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde precisamos encontrar a derivada direcional da função
na direção da bissetriz do ângulo formado pelos pontos
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como gradiente, derivada direcional e geometria vetorial para encontrar a direção da bissetriz.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a direção da bissetriz do ângulo
. Primeiro, vamos determinar os vetores
e
:
Passo 5
A bissetriz de um ângulo é a direção que divide o ângulo em duas partes iguais. Para encontrar essa direção, vamos normalizar os vetores
e
e somá-los:
Primeiro, calculamos as normas dos vetores:
Como as normas são iguais, a bissetriz será a soma dos vetores normalizados:
Passo 6
Agora, precisamos transformar esse vetor
em um vetor unitário, ou seja, com norma 1. Calculamos a norma de
:
Então, o vetor unitário na direção da bissetriz é:
Passo 7
Finalmente, podemos calcular a derivada direcional usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional da função
na direção da bissetriz do ângulo
é igual a 4.
Exercícios relacionados
Considere
e
como subconjuntos de um conjunto universo
. Mostre que
se e somente se
.
A diferença simétrica de e
, indicada por
, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em
ou
, mas não em ambos.
A diferença simétrica de
Desenhe o diagrama de Venn para cada uma das combinações abaixo dos conjuntos
e
.
Mostre que
.
Se
e
são conjuntos, temos que
?