Obtenha o que se pede.
Considere os pontos A = (1, 1), B = (4, 5) e C = (5, 4). Encontre a derivada direcional da função f(x, y) = raiz(2) * x^2 + 2 * raiz(2) * y + 5 na direção da bissetriz do ângulo B ^ A C.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisamos encontrar a derivada direcional da função na direção da bissetriz do ângulo formado pelos pontos , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como gradiente, derivada direcional e geometria vetorial para encontrar a direção da bissetriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a e .
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto :

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a direção da bissetriz do ângulo . Primeiro, vamos determinar os vetores e :

Passo 5

A bissetriz de um ângulo é a direção que divide o ângulo em duas partes iguais. Para encontrar essa direção, vamos normalizar os vetores e e somá-los:
Primeiro, calculamos as normas dos vetores:
Como as normas são iguais, a bissetriz será a soma dos vetores normalizados:

Passo 6

Agora, precisamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com norma 1. Calculamos a norma de :
Então, o vetor unitário na direção da bissetriz é:

Passo 7

Finalmente, podemos calcular a derivada direcional usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional da função na direção da bissetriz do ângulo é igual a 4.

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