Se
e
são conjuntos, temos que
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem quatro conjuntos,
e
, e queremos saber se
é igual a
. O conteúdo aqui envolve diferença simétrica de conjuntos e a associatividade dessa operação. Vamos precisar entender o que é diferença simétrica e como aplicar a associatividade para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a diferença simétrica. Para dois conjuntos
e
, a diferença simétrica, representada por
, é o conjunto de elementos que estão em
ou em
, mas não em ambos. Em fórmula:
Isso significa que vamos pegar os elementos únicos de cada conjunto.
Passo 3
Agora, vamos entender a associatividade. Uma operação é associativa se a maneira como a gente agrupa os termos não muda o resultado. Para a diferença simétrica, queremos ver se:
Isso significa que, independente de como a gente agrupa
e
, o resultado final será o mesmo.
Passo 4
Vamos calcular cada lado da equação para verificar se eles são iguais. Primeiro, vamos calcular
:
A seguir, aplicamos a diferença simétrica novamente nessa união.
Passo 5
Agora, vamos calcular o outro lado:
:
Assim como antes, aplicamos a diferença simétrica nessa união.
Passo 6
Observando as duas expressões que calculamos, percebemos que a diferença simétrica é uma operação associativa. Isso significa que a ordem em que você agrupa os conjuntos não altera o resultado final. Portanto, ambos os lados da nossa equação inicial são iguais.
Resposta
Sim,
é igual a
.
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.
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. Encontre
.