Se A, B, C e D são conjuntos, temos que (A ⊕ B) ⊕ (C ⊕ D) (A ⊕ D) ⊕ (B ⊕ C) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem quatro conjuntos, e , e queremos saber se é igual a . O conteúdo aqui envolve diferença simétrica de conjuntos e a associatividade dessa operação. Vamos precisar entender o que é diferença simétrica e como aplicar a associatividade para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a diferença simétrica. Para dois conjuntos e , a diferença simétrica, representada por , é o conjunto de elementos que estão em ou em , mas não em ambos. Em fórmula:
Isso significa que vamos pegar os elementos únicos de cada conjunto.

Passo 3

Agora, vamos entender a associatividade. Uma operação é associativa se a maneira como a gente agrupa os termos não muda o resultado. Para a diferença simétrica, queremos ver se:
Isso significa que, independente de como a gente agrupa e , o resultado final será o mesmo.

Passo 4

Vamos calcular cada lado da equação para verificar se eles são iguais. Primeiro, vamos calcular :
A seguir, aplicamos a diferença simétrica novamente nessa união.

Passo 5

Agora, vamos calcular o outro lado: :
Assim como antes, aplicamos a diferença simétrica nessa união.

Passo 6

Observando as duas expressões que calculamos, percebemos que a diferença simétrica é uma operação associativa. Isso significa que a ordem em que você agrupa os conjuntos não altera o resultado final. Portanto, ambos os lados da nossa equação inicial são iguais.

Resposta

Sim, é igual a .

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