Determinse se a série é convergente ou divergente
sumn=0^infty 3^nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa decidir se a série é convergente ou divergente. Isso faz parte do estudo das séries infinitas na matemática, que é essencial pra saber se uma soma infinita acaba chegando a um número específico ou não. Para resolver isso, vamos usar o Teste do Quociente, que é uma técnica bem útil pra analisar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . O Teste do Quociente nos pede para calcular o limite de quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos montar essa razão:
an+1an = 3^n+1(n+1)!3^nn! = 3^n+1 cdot n!3^n cdot (n+1)!

Passo 4

Simplificando essa expressão:
3^n+13^n = 3
n!(n+1)! = 1n+1
Então,
an+1an = 3 cdot 1n+1 = 3n+1

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty 3n+1 = 0 tende ao infinito:

Passo 6

De acordo com o Teste do Quociente, se esse limite for menor que 1, a série é absolutamente convergente. Aqui, , então a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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