Considere como o conjunto de todas as cadeias de bits não vazias (ou seja, cadeias de bits com, pelo menos, um de extensão) de extensão não excedente a . Encontre
.

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que é o conjunto de todas as cadeias de bits não vazias com extensão não excedente a . Ou seja, cada contém cadeias de bits com comprimento de até . O problema quer que a gente encontre a interseção de todos esses conjuntos de até , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a interseção de conjuntos e como ela se aplica aqui.

Passo 2

Interseção de Conjuntos: Quando a gente fala da interseção de vários conjuntos, estamos procurando os elementos que são comuns a todos eles. Então, é o conjunto de todas as cadeias de bits que estão presentes em todos os conjuntos .

Passo 3

Vamos analisar cada conjunto :
  • : Contém todas as cadeias de bits com comprimento até 1, ou seja, .
  • : Contém cadeias com comprimento até 2, ou seja, .
  • : Contém cadeias com comprimento até n.

Passo 4

Para um elemento estar na interseção , ele precisa estar em todos os conjuntos . Isso significa que esse elemento deve ser:
  1. Não vazio: Pelo enunciado.
  2. Comprimento máximo de 1: Porque só contém cadeias de comprimento até 1. Se tivesse mais bits, não estaria em .

Passo 5

Assim, os únicos elementos que satisfazem ambas as condições são as cadeias de um único bit, ou seja, . Essas são as únicas que aparecem em todos os conjuntos de até .

Resposta

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