e são eventos em um espaço de probabilidade, tais que .
Qual o menor valor possível para ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos quatro eventos, , , e , cada um com probabilidade de ocorrência igual a 0,8. A pergunta é: qual é o menor valor possível para a probabilidade da interseção dos três primeiros eventos, ou seja, ? Vamos usar conceitos de probabilidade para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de interseção de eventos representa a chance de todos acontecerem ao mesmo tempo. Para encontrar o menor valor possível de , precisamos considerar como esses eventos podem se sobrepor da maneira mais “separada” possível dentro das probabilidades dadas.

Passo 3

Uma ferramenta útil aqui é a desigualdade de Bonferroni, que nos ajuda a estabelecer limites para a probabilidade da interseção de múltiplos eventos. Para três eventos, a desigualdade de Bonferroni diz:

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula com os valores que temos:

Passo 5

Isso significa que o menor valor possível para é 0,4. Ou seja, mesmo que os eventos , e estejam o mais “separados” possível dentro das probabilidades dadas, ainda assim há uma chance mínima de 40% de todos os três ocorrerem juntos.

Resposta

O menor valor possível para é 0,4.

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c)
Sejam m, números iguais quaisquer. Então, . Multiplicando por dos dois lados, temos . Subtraindo , segue . Assim, como
Cancelando de ambos os lados, segue . Tomando , obtemos ou, equivalentemente, .
e são eventos em um espaço de probabilidade, tais que .
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