Quantas soluções inteiras possui a equação
, com
,
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos essa equação
onde
,
e
. A matéria que vamos usar aqui é combinatória, especificamente o conceito de combinação com restrições. Precisaremos entender como distribuir os valores para as variáveis
,
e
respeitando as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos ajustar as restrições para facilitar a contagem das soluções. Sabemos que
e
. Isso significa que podemos redefinir essas variáveis para torná-las não negativas.
Vamos definir:
-
(assim, ) -
(assim, )
Agora, nossa equação original fica:
Simplificando:
Passo 3
Agora, a equação
com
,
e
é uma equação de partição de inteiros, onde queremos saber de quantas maneiras podemos dividir 7 em 3 partes não negativas.
Passo 4
Para resolver isso, usamos a fórmula de combinações com repetição:
onde
é o número total a ser distribuído (neste caso, 7) e
é o número de variáveis (neste caso, 3).
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 6
Calculando o valor de
:
Resposta
Existem 36 soluções inteiras para a equação
com as restrições dadas.
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