Quantas soluções inteiras possui a equação , com , ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos essa equação onde , e . A matéria que vamos usar aqui é combinatória, especificamente o conceito de combinação com restrições. Precisaremos entender como distribuir os valores para as variáveis , e respeitando as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos ajustar as restrições para facilitar a contagem das soluções. Sabemos que e . Isso significa que podemos redefinir essas variáveis para torná-las não negativas.
Vamos definir:
  • (assim, )
  • (assim, )
Agora, nossa equação original fica:
Simplificando:

Passo 3

Agora, a equação com , e é uma equação de partição de inteiros, onde queremos saber de quantas maneiras podemos dividir 7 em 3 partes não negativas.

Passo 4

Para resolver isso, usamos a fórmula de combinações com repetição:
úçõ
onde é o número total a ser distribuído (neste caso, 7) e é o número de variáveis (neste caso, 3).

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:

Passo 6

Calculando o valor de :

Resposta

Existem 36 soluções inteiras para a equação com as restrições dadas.

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