Se
e
são vetores no
tal que:
.
Provar que:
são colineares.
Provar que:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem quatro vetores no espaço tridimensional, chamados de
,
,
e
. A questão nos dá duas igualdades envolvendo produtos vetoriais dessas combinações:
Nosso objetivo aqui é provar que os vetores
e
são colineares, ou seja, que um é múltiplo do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o produto vetorial. Quando a gente faz
, o resultado é um vetor que é perpendicular a ambos os vetores
e
. Além disso, se dois vetores têm o mesmo produto vetorial, eles estão relacionados de certas maneiras que podemos explorar.
Passo 3
Vamos usar as duas igualdades que temos:
Podemos rearranjar essas igualdades para trazer todos os termos para um lado da equação:
Passo 4
Agora, vamos usar uma propriedade importante do produto vetorial, que é a distributividade sobre a subtração. Isso significa que podemos reescrever as expressões acima como:
Note que trocamos a ordem no segundo termo, o que muda o sinal do produto vetorial.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a identidade do produto vetorial que diz que
. Isso nos ajuda a associar os termos de forma mais conveniente:
Passo 6
Vamos reorganizar as equações para agrupar os termos com
e
:
Isso nos prepara para isolar
e
.
Passo 7
Observamos que as duas equações podem ser combinadas para eliminar
. Para isso, vamos expressar
em termos de
usando as equações acima. Mas, na verdade, uma abordagem mais direta é considerar uma combinação linear que nos leve à relação de colinearidade.
Passo 8
Vamos considerar a diferença dos vetores que queremos provar que são colineares:
e
. A colinearidade significa que existe um escalar
tal que:
Nosso objetivo é encontrar esse
.
Passo 9
Para encontrar
, podemos projetar um dos vetores sobre o outro. No entanto, vamos usar as igualdades dadas para relacionar os termos. A ideia é que as igualdades envolvendo os produtos vetoriais nos indicam uma relação direta entre as direções dos vetores envolvidos.
Passo 10
Com as igualdades originais:
Podemos observar que isso implica que os vetores
,
,
e
estão dispostos de maneira que suas diferenças resultam em vetores paralelos.
Passo 11
Finalmente, concluímos que os vetores
e
são colineares porque a relação estabelecida pelas igualdades dos produtos vetoriais força que um é múltiplo do outro.
Resposta
Os vetores
e
são colineares.