Sejam a matriz
e
. Sejam
são soluções do sistema linear homogêneo
. Mostre que se
é solução do sistema linear homogêneo
, para quaisquer
então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente trabalhar com sistemas lineares, especificamente sistemas homogêneos. Aqui, temos uma matriz
de dimensões
e um vetor
. Sabemos que
e
são soluções desse sistema homogêneo
. A tarefa é mostrar que, se qualquer combinação linear desses vetores
também é uma solução do sistema
para quaisquer números reais
e
, então o vetor
precisa ser o vetor nulo
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser uma solução de um sistema linear homogêneo e como combinar soluções afeta o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um sistema linear homogêneo. Um sistema da forma
é chamado de homogêneo se
for o vetor nulo, ou seja,
. Nesse caso, temos:
Isso significa que estamos procurando por vetores
que, quando multiplicados pela matriz
, resultem no vetor zero.
Passo 3
Agora, sabemos que
e
são soluções do sistema
. Isso quer dizer que:
Queremos mostrar que, se qualquer combinação linear
também é uma solução, então
deve ser o vetor nulo.
Passo 4
Vamos considerar uma combinação linear dos vetores
e
:
Queremos que
também seja uma solução do sistema, ou seja:
Substituindo
na equação:
Passo 5
Usando a propriedade de distributividade da multiplicação de matrizes sobre a soma, temos:
Mas sabemos que
e
, então substituindo:
Passo 6
Fatorando
na expressão acima, obtemos:
Para que essa igualdade seja válida para quaisquer
e
, precisamos analisar o que isso implica.
Passo 7
A igualdade
deve ser verdadeira para todos os valores de
e
. Vamos considerar dois casos:
- Se
, ent��o a igualdade se mantém . - Se
, a única maneira de ser verdadeira é se .
Como a igualdade deve valer para quaisquer
e
, inclusive quando
, concluímos que
deve ser o vetor nulo.
Resposta
Portanto,
.