Sejam a matriz Am times n e X=[llllx1 & x2 & ldots & xn]^T. Sejam X1, X2 são soluções do sistema linear homogêneo A X=B. Mostre que se alpha X1+beta X2 é solução do sistema linear homogêneo A X=B, para quaisquer alpha, beta in R então B=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente trabalhar com sistemas lineares, especificamente sistemas homogêneos. Aqui, temos uma matriz de dimensões e um vetor . Sabemos que e são soluções desse sistema homogêneo . A tarefa é mostrar que, se qualquer combinação linear desses vetores também é uma solução do sistema para quaisquer números reais e , então o vetor precisa ser o vetor nulo .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser uma solução de um sistema linear homogêneo e como combinar soluções afeta o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um sistema linear homogêneo. Um sistema da forma A X = 0 é chamado de homogêneo se for o vetor nulo, ou seja, . Nesse caso, temos:
Isso significa que estamos procurando por vetores que, quando multiplicados pela matriz , resultem no vetor zero.

Passo 3

Agora, sabemos que A X1 = B e A X2 = B e são soluções do sistema . Isso quer dizer que:
Queremos mostrar que, se qualquer combinação linear também é uma solução, então deve ser o vetor nulo.

Passo 4

Vamos considerar uma combinação linear dos vetores X = alpha X1 + beta X2 e A X = B :
A (alpha X1 + beta X2) = B
Queremos que também seja uma solução do sistema, ou seja:
Substituindo na equação:

Passo 5

Usando a propriedade de distributividade da multiplicação de matrizes sobre a soma, temos:
alpha A X1 + beta A X2 = B
Mas sabemos que alpha B + beta B = B e , então substituindo:

Passo 6

Fatorando (alpha + beta) B = B na expressão acima, obtemos:
Para que essa igualdade seja válida para quaisquer e , precisamos analisar o que isso implica.

Passo 7

A igualdade deve ser verdadeira para todos os valores de e . Vamos considerar dois casos:
  1. Se , ent��o a igualdade se mantém .
  2. Se , a única maneira de ser verdadeira é se .
Como a igualdade deve valer para quaisquer e , inclusive quando , concluímos que deve ser o vetor nulo.

Resposta

Portanto, .

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