(2,0 pt) Encontre uma sistema de equações paramétricas e uma equação geral para o plano determinado pelos pontos A(2,0,4), B(-1,2,-1) e C(2,2,-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar um sistema de equações paramétricas e uma equação geral para o plano definido pelos pontos , e . A gente vai usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar calcular vetores, determinar direções no plano e usar produtos vetoriais para achar a equação geral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que ligam o ponto aos pontos e . Esses vetores nos dão as direções no plano.
  • Vetor
  • Vetor

Passo 3

Agora, vamos montar as equações paramétricas do plano. As equações paramétricas de um plano podem ser escritas usando um ponto conhecido no plano (nesse caso, o ponto x = xA + s cdot ABx + t cdot ACx y = yA + s cdot ABy + t cdot ACy z = zA + s cdot ABz + t cdot ACz ) e os vetores diretores x = 2 + s cdot (-3) + t cdot 0 y = 0 + s cdot 2 + t cdot 2 z = 4 + s cdot (-5) + t cdot (-6) e x = 2 - 3s y = 2s + 2t z = 4 - 5s - 6t .
Assim, as equações paramétricas ficam:
Substituindo os valores:
Ou seja:

Passo 4

Para encontrar a equação geral do plano, precisamos primeiro determinar o vetor normal ao plano. Esse vetor normal pode ser encontrado usando o produto vetorial dos vetores AB times AC = i & j & k -3 & 2 & -5 0 & 2 & -6 e = i(2 cdot (-6) - (-5) cdot 2) - j(-3 cdot (-6) - (-5) cdot 0) + k(-3 cdot 2 - 2 cdot 0) .
Calculando o produto vetorial = i(-12 + 10) - j(18 - 0) + k(-6 - 0) :
= i(-2) - j(18) + k(-6)
Portanto, o vetor normal . Podemos simplificar dividindo por -2: .

Passo 5

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e o ponto 1(x - 2) + 9(y - 0) + 3(z - 4) = 0 , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
x - 2 + 9y + 3z - 12 = 0
Substituindo os valores:
x + 9y + 3z - 14 = 0
Simplificando:

Resposta

As equações paramétricas do plano são:
x = 2 - 3s y = 2s + 2t z = 4 - 5s - 6t
E a equação geral do plano é:
x + 9y + 3z - 14 = 0

Exercícios relacionados