(2,0 pt) Encontre uma sistema de equações paramétricas e uma equação geral para o plano determinado pelos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar um sistema de equações paramétricas e uma equação geral para o plano definido pelos pontos , e . A gente vai usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar calcular vetores, determinar direções no plano e usar produtos vetoriais para achar a equação geral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que ligam o ponto aos pontos e . Esses vetores nos dão as direções no plano.
Vetor
Vetor
Passo 3
Agora, vamos montar as equações paramétricas do plano. As equações paramétricas de um plano podem ser escritas usando um ponto conhecido no plano (nesse caso, o ponto ) e os vetores diretores e .
Assim, as equações paramétricas ficam:
Substituindo os valores:
Ou seja:
Passo 4
Para encontrar a equação geral do plano, precisamos primeiro determinar o vetor normal ao plano. Esse vetor normal pode ser encontrado usando o produto vetorial dos vetores AB times AC = i & j & k -3 & 2 & -5 0 & 2 & -6 e = i(2 cdot (-6) - (-5) cdot 2) - j(-3 cdot (-6) - (-5) cdot 0) + k(-3 cdot 2 - 2 cdot 0) .
Portanto, o vetor normal . Podemos simplificar dividindo por -2: .
Passo 5
Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e o ponto 1(x - 2) + 9(y - 0) + 3(z - 4) = 0 , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula: