Seja
, deteremine os valores de
tal que
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma matriz
e precisamos encontrar os valores de
que satisfazem a equação
. Aqui,
é a matriz identidade 2x2. Para resolver isso, vamos precisar entender como elevar uma matriz ao poder e usar algumas propriedades de matrizes especiais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como elevar a matriz
a diferentes potências. A matriz dada é uma matriz triangular superior com
s na diagonal. Uma propriedade legal dessas matrizes é que elevar
a qualquer potência mantém essa estrutura simples. Vamos calcular
de forma geral.
Passo 3
Observando a matriz
, notamos que:
Quando elevamos
a uma potência
, temos:
Isso acontece porque, a cada multiplicação, o elemento acima da diagonal aumenta em
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar isso à nossa equação
. Substituindo
pela forma que encontramos:
Passo 5
Substituindo essas matrizes na equação:
Vamos fazer a subtração e adição elemento a elemento.
Passo 6
Calculando cada elemento:
- Elemento (1,1):
- Elemento (1,2):
- Elemento (2,1):
- Elemento (2,2):
Então, a equação fica:
Passo 7
Igualando os elementos correspondentes das matrizes:
Agora, temos uma equação quadrática para resolver.
Passo 8
Resolvendo a equação quadrática
. Podemos fatorar:
Então, as soluções são
ou
.
Resposta
Os valores de
que satisfazem a equação são
e
.