Seja A=[ll1 & 1 0 & 1], deteremine os valores de k tal que A^k^2-A^5 k+A^6=I2.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma matriz 1 & 1 0 & 1 e precisamos encontrar os valores de que satisfazem a equação . Aqui, é a matriz identidade 2x2. Para resolver isso, vamos precisar entender como elevar uma matriz ao poder e usar algumas propriedades de matrizes especiais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como elevar a matriz a diferentes potências. A matriz dada é uma matriz triangular superior com s na diagonal. Uma propriedade legal dessas matrizes é que elevar a qualquer potência mantém essa estrutura simples. Vamos calcular de forma geral.

Passo 3

Observando a matriz A = 1 & 1 0 & 1 , notamos que:
A^n = 1 & n 0 & 1
Quando elevamos a uma potência , temos:
Isso acontece porque, a cada multiplicação, o elemento acima da diagonal aumenta em .

Passo 4

Agora, vamos aplicar isso à nossa equação A^k^2 = 1 & k^2 0 & 1, A^5k = 1 & 5k 0 & 1, A^6 = 1 & 6 0 & 1 . Substituindo pela forma que encontramos:

Passo 5

Substituindo essas matrizes na equação:
1 & k^2 0 & 1 - 1 & 5k 0 & 1 + 1 & 6 0 & 1 = 1 & 0 0 & 1
Vamos fazer a subtração e adição elemento a elemento.

Passo 6

Calculando cada elemento:
  • Elemento (1,1): 1 & k^2 - 5k + 6 0 & 1 = 1 & 0 0 & 1
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
Então, a equação fica:

Passo 7

Igualando os elementos correspondentes das matrizes:
k^2 - 5k + 6 = 0
Agora, temos uma equação quadrática para resolver.

Passo 8

Resolvendo a equação quadrática (k - 2)(k - 3) = 0 . Podemos fatorar:
Então, as soluções são ou .

Resposta

Os valores de que satisfazem a equação são e .

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