Se a=(0,0,1,1), b=(1,2,0,-1) e c=(2,1,0,0), determine o vetor x considerando que:
a cdot x=0, b cdot x=0 e c cdot x=|c||x|

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três vetores:
  • a = (0, 0, 1, 1),
  • b = (1, 2, 0, -1),
  • c = (2, 1, 0, 0).
Queremos encontrar um vetor x que satisfaça três condições:
  1. a cdot x = 0,
  2. b cdot x = 0,
  3. c cdot x = |c||x|.
Vamos resolver isso passo a passo usando álgebra linear e propriedades de produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir as condições de produto escalar em equações. O produto escalar entre dois vetores u = (u1, u2, u3, u4) e v = (v1, v2, v3, v4) é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4
Aplicando isso às primeiras duas condições:
  1. a cdot x = 0:
0 cdot x1 + 0 cdot x2 + 1 cdot x3 + 1 cdot x4 = 0 Rightarrow x3 + x4 = 0
  1. b cdot x = 0:
1 cdot x1 + 2 cdot x2 + 0 cdot x3 + (-1) cdot x4 = 0 Rightarrow x1 + 2x2 - x4 = 0

Passo 3

Vamos resolver essas duas equa�es para expressar x3 e x4 em termos de x1 e x2.
Da primeira equação:
x3 + x4 = 0 Rightarrow x4 = -x3
Substituindo x4 na segunda equação:
x1 + 2x2 - (-x3) = 0 Rightarrow x1 + 2x2 + x3 = 0
Então, temos:
x3 = -x1 - 2x2
x4 = -(-x1 - 2x2) = x1 + 2x2
Agora, podemos expressar o vetor x em termos de x1 e x2:
x = ( x1, x2, -x1 - 2x2, x1 + 2x2 )

Passo 4

Agora, vamos usar a terceira condição: c cdot x = |c||x|.
Primeiro, calculamos |c|:
|c| = raiz2^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 = raiz4 + 1 = raiz5
Agora, vamos calcular c cdot x:
c cdot x = 2x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 = 2x1 + x2
E |x|:
|x| = raizx1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2
Substituindo x3 e x4:
|x| = raizx1^2 + x2^2 + (-x1 - 2x2)^2 + (x1 + 2x2)^2
Calculando os quadrados:
(-x1 - 2x2)^2 = x1^2 + 4x2^2 + 4x1x2
(x1 + 2x2)^2 = x1^2 + 4x2^2 + 4x1x2
Então:
|x| = raizx1^2 + x2^2 + x1^2 + 4x2^2 + 4x1x2 + x1^2 + 4x2^2 + 4x1x2 = raiz3x1^2 + 9x2^2 + 8x1x2

Passo 5

Voltando à condição c cdot x = |c||x|:
2x1 + x2 = raiz5 cdot raiz3x1^2 + 9x2^2 + 8x1x2
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
(2x1 + x2)^2 = 5(3x1^2 + 9x2^2 + 8x1x2)
Expandindo o lado esquerdo:
4x1^2 + 4x1x2 + x2^2 = 15x1^2 + 45x2^2 + 40x1x2
Simplificando:
4x1^2 + 4x1x2 + x2^2 - 15x1^2 - 45x2^2 - 40x1x2 = 0
-11x1^2 - 44x2^2 - 36x1x2 = 0
Dividindo por -11:
x1^2 + 4x2^2 + 3611x1x2 = 0

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática em x1 e x2. Podemos tentar resolver isso expressando x1 em termos de x2 ou vice-versa. Para simplificar, vamos assumir x2 = t e expressar x1 em função de t.
Vamos reescrever a equação:
x1^2 + 4t^2 + 3611x1t = 0
Resolvendo para x1:
x1^2 + 3611tx1 + 4t^2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara para uma equação quadrática ax^2 + bx + c = 0:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = 3611t, c = 4t^2. Então:
x1 = -3611t pm raiz(3611t)^2 - 16t^22
Calculando o discriminante:
(3611t)^2 - 16t^2 = 1296121t^2 - 16t^2 = 1296 - 1936121t^2 = -640121t^2
Como o discriminante é negativo, a única solução real é t = 0, o que implica x1 = 0.
Então, x2 = 0, e consequentemente:
x3 = -x1 - 2x2 = 0,
x4 = x1 + 2x2 = 0

Resposta

O vetor x que satisfaz as condições dadas é:
x = (0, , 0, , 0, , 0)

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