Se
e
, determine o vetor
considerando que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos três vetores:
-
, -
, -
.
Queremos encontrar um vetor
que satisfaça três condições:
-
, -
, -
.
Vamos resolver isso passo a passo usando álgebra linear e propriedades de produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir as condições de produto escalar em equações. O produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso às primeiras duas condições:
-
:
-
:
Passo 3
Vamos resolver essas duas equa�es para expressar
e
em termos de
e
.
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Então, temos:
Agora, podemos expressar o vetor
em termos de
e
:
Passo 4
Agora, vamos usar a terceira condição:
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, vamos calcular
:
E
:
Substituindo
e
:
Calculando os quadrados:
Então:
Passo 5
Voltando à condição
:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando:
Dividindo por -11:
Passo 6
Agora, temos uma equação quadrática em
e
. Podemos tentar resolver isso expressando
em termos de
ou vice-versa. Para simplificar, vamos assumir
e expressar
em função de
.
Vamos reescrever a equação:
Resolvendo para
:
Usando a fórmula de Bhaskara para uma equação quadrática
:
Aqui,
,
,
. Então:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, a única solução real é
, o que implica
.
Então,
, e consequentemente:
Resposta
O vetor
que satisfaz as condições dadas é: