Defina a noção de distância entre vetores. Dos vetores a seguir, quais são os dois mais próximos? Justifique!
u=[c 1.8 2.0 -3.7 4.7 ], v=[c 0.6 2.1 1.9 -1.4 ] e w=[c 2.0 1.9 -4.0 4.6 ]

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre distância entre vetores. Primeiro, vamos entender o que significa distância entre vetores na matemática. Para isso, precisamos saber como calcular a distância entre dois vetores usando a norma Euclidiana. Vamos usar essa definição para descobrir quais são os dois vetores mais próximos entre , e .

Passo 2

A distância entre dois vetores é calculada usando a norma Euclidiana, que basicamente mede o “espaço” entre eles. A fórmula para a distância entre dois vetores d(a, b) = raiz(a1 - b1)^2 + (a2 - b2)^2 + dots + (an - bn)^2 e é:

Passo 3

Vamos calcular a distância entre d(u, v) = raiz(1.8 - 0.6)^2 + (2.0 - 2.1)^2 + (-3.7 - 1.9)^2 + (4.7 - (-1.4))^2 e (1.8 - 0.6)^2 = 1.2^2 = 1.44 . Subtraímos cada componente correspondente e elevamos ao quadrado:
(2.0 - 2.1)^2 = (-0.1)^2 = 0.01
Calculando cada termo:
(-3.7 - 1.9)^2 = (-5.6)^2 = 31.36
(4.7 - (-1.4))^2 = 6.1^2 = 37.21
d(u, v) = raiz1.44 + 0.01 + 31.36 + 37.21 = raiz69.02 approx 8.31
Somando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância entre d(u, w) = raiz(1.8 - 2.0)^2 + (2.0 - 1.9)^2 + (-3.7 - (-4.0))^2 + (4.7 - 4.6)^2 e (1.8 - 2.0)^2 = (-0.2)^2 = 0.04 :
(2.0 - 1.9)^2 = 0.1^2 = 0.01
Calculando cada termo:
(-3.7 - (-4.0))^2 = 0.3^2 = 0.09
(4.7 - 4.6)^2 = 0.1^2 = 0.01
d(u, w) = raiz0.04 + 0.01 + 0.09 + 0.01 = raiz0.15 approx 0.39
Somando tudo:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a distância entre d(v, w) = raiz(0.6 - 2.0)^2 + (2.1 - 1.9)^2 + (1.9 - (-4.0))^2 + (-1.4 - 4.6)^2 e (0.6 - 2.0)^2 = (-1.4)^2 = 1.96 :
(2.1 - 1.9)^2 = 0.2^2 = 0.04
Calculando cada termo:
(1.9 - (-4.0))^2 = 5.9^2 = 34.81
(-1.4 - 4.6)^2 = (-6.0)^2 = 36.00
d(v, w) = raiz1.96 + 0.04 + 34.81 + 36.00 = raiz72.81 approx 8.53
Somando tudo:

Resposta

Os dois vetores mais próximos são e , com uma distância de aproximadamente . Isso porque é menor que e .

Exercícios relacionados