Nos casos abaixo, determine A^-1, utilizando operações elementares, se esta existir.
© (ccc-3 & -6 & -12 0 & 3 & -3 -6 & -9 & 24).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar a matriz inversa de uma matriz dada, usando operações elementares, se ela existir. Isso envolve trabalhar com matrizes e entender conceitos de álgebra linear, como matrizes inversas e operações elementares de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz inversa. A matriz inversa A times A^-1 = I de uma matriz é aquela que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade. Ou seja:
Para encontrar , vamos usar o método de matriz aumentada, onde colocamos a matriz ao lado da matriz identidade e aplicamos operações de linha para transformar na identidade. As mesmas operações aplicadas à identidade transformarão .

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada com [ccc|ccc -3 & -6 & -12 & 1 & 0 & 0 0 & 3 & -3 & 0 & 1 & 0 -6 & -9 & 24 & 0 & 0 & 1 ] e a matriz identidade :

Passo 4

Nosso objetivo é transformar a parte esquerda (a matriz [ccc|ccc 1 & 2 & 4 & -13 & 0 & 0 0 & 3 & -3 & 0 & 1 & 0 -6 & -9 & 24 & 0 & 0 & 1 ] ) na matriz identidade. Vamos começar fazendo o primeiro elemento da primeira linha ser 1. Para isso, dividimos a primeira linha por -3:

Passo 5

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso, adicionamos 6 vezes a primeira linha à terceira linha:
[ccc|ccc 1 & 2 & 4 & -13 & 0 & 0 0 & 3 & -3 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 48 & -2 & 0 & 1 ]

Passo 6

Em seguida, vamos fazer o segundo elemento da segunda linha ser 1, dividindo a segunda linha por 3:
[ccc|ccc 1 & 2 & 4 & -13 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 0 & 13 & 0 0 & 3 & 48 & -2 & 0 & 1 ]

Passo 7

Vamos eliminar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna. Primeiro, subtrair 2 vezes a segunda linha da primeira linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 6 & -13 & -23 & 0 0 & 1 & -1 & 0 & 13 & 0 0 & 3 & 48 & -2 & 0 & 1 ]
Agora, subtrair 3 vezes a segunda linha da terceira linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 6 & -13 & -23 & 0 0 & 1 & -1 & 0 & 13 & 0 0 & 0 & 51 & -2 & -1 & 1 ]

Passo 8

Agora, vamos fazer o terceiro elemento da terceira linha ser 1, dividindo a terceira linha por 51:
[ccc|ccc 1 & 0 & 6 & -13 & -23 & 0 0 & 1 & -1 & 0 & 13 & 0 0 & 0 & 1 & -251 & -151 & 151 ]

Passo 9

Finalmente, eliminamos os elementos acima do 1 na terceira coluna. Subtraímos 6 vezes a terceira linha da primeira linha e adicionamos 1 vez a terceira linha à segunda linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 151 & -451 & -651 0 & 1 & 0 & -251 & 451 & 151 0 & 0 & 1 & -251 & -151 & 151 ]

Resposta

A matriz inversa A^-1 = (ccc 151 & -451 & -651 -251 & 451 & 151 -251 & -151 & 151 ) é:

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