Como é definido o ângulo entre dois vetores em R^n ? Exiba dois vetores em R^6 cujo o ângulo entre eles é igual a pi4.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber como se define o ângulo entre dois vetores em um espaço de dimensão , ou seja, . Depois, precisamos encontrar dois vetores específicos em que formem um ângulo de (45 graus) entre si. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição matemática de ângulo entre vetores e como calcular esse ângulo usando produto interno (produto escalar).

Passo 2

O ângulo entre dois vetores pode ser encontrado usando a fórmula do produto interno. Se temos dois vetores cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v| e em , o ângulo entre eles é dado por:
Aqui, representa o produto interno dos vetores, e e são as normas (comprimentos) dos vetores.

Passo 3

Para encontrar dois vetores em raiz22 = u cdot v|u| cdot |v| com um ângulo de entre eles, precisamos garantir que a equação acima seja satisfeita com . Sabemos que . Então, nossa meta é que:

Passo 4

Uma maneira simples de facilitar os cálculos é escolher vetores com a mesma norma, por exemplo, u cdot v = raiz22 . Assim, a equação se simplifica para:
Agora, precisamos encontrar dois vetores unitários em cujo produto interno seja .

Passo 5

Vamos escolher vetores que tenham apenas alguns componentes não nulos para simplificar. Por exemplo, podemos selecionar:
u = (1, 0, 0, 0, 0, 0)
e
v = (raiz22, raiz22, 0, 0, 0, 0)

Passo 6

Vamos verificar se esses vetores realmente formam o ângulo desejado. Primeiro, calculamos o produto interno:
u cdot v = 1 cdot raiz22 + 0 cdot raiz22 + 0 + 0 + 0 + 0 = raiz22
As normas dos vetores são:
|u| = raiz1^2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1
|v| = raiz(raiz22)^2 + (raiz22)^2 + 0 + 0 + 0 + 0 = raiz24 + 24 = raiz1 = 1
Então,
cos(theta) = raiz221 cdot 1 = raiz22 = cos(pi4)
Isso confirma que o ângulo entre e é .

Resposta

Dois vetores em u = (1, 0, 0, 0, 0, 0) com ângulo v = (raiz22, raiz22, 0, 0, 0, 0) entre eles são:
e

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