Como é definido o ângulo entre dois vetores em ? Exiba dois vetores em cujo o ângulo entre eles é igual a .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber como se define o ângulo entre dois vetores em um espaço de dimensão , ou seja, . Depois, precisamos encontrar dois vetores específicos em que formem um ângulo de (45 graus) entre si. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição matemática de ângulo entre vetores e como calcular esse ângulo usando produto interno (produto escalar).
Passo 2
O ângulo entre dois vetores pode ser encontrado usando a fórmula do produto interno. Se temos dois vetores e em , o ângulo entre eles é dado por:
Aqui, representa o produto interno dos vetores, e e são as normas (comprimentos) dos vetores.
Passo 3
Para encontrar dois vetores em com um ângulo de entre eles, precisamos garantir que a equação acima seja satisfeita com . Sabemos que . Então, nossa meta é que:
Passo 4
Uma maneira simples de facilitar os cálculos é escolher vetores com a mesma norma, por exemplo, . Assim, a equação se simplifica para:
Agora, precisamos encontrar dois vetores unitários em cujo produto interno seja .
Passo 5
Vamos escolher vetores que tenham apenas alguns componentes não nulos para simplificar. Por exemplo, podemos selecionar:
e
Passo 6
Vamos verificar se esses vetores realmente formam o ângulo desejado. Primeiro, calculamos o produto interno:
As normas dos vetores são:
Então,
cos(theta) = raiz221 cdot 1 = raiz22 = cos(pi4)
Isso confirma que o ângulo entre e é .
Resposta
Dois vetores em u = (1, 0, 0, 0, 0, 0) com ângulo v = (raiz22, raiz22, 0, 0, 0, 0) entre eles são: