Determine o ângulo entre o vetor n-dimensional x=(1,1,1, ldots, 1) e os vetores canônicos n-dimensionais. Esses vetores são LI? (i.e. a lista formada por x e os vetores da base canônica)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o ângulo entre o vetor x = (1,1,1,ldots,1) em n dimensões e cada um dos vetores canônicos (os vetores da base padrão). Além disso, vamos verificar se essa lista formada pelo x e os vetores canônicos é linearmente independente (LI). Para isso, vamos usar conceitos de produto interno e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o ângulo entre dois vetores. A fórmula que usamos é:
cos(theta) = a cdot b||a|| , ||b||
Aqui, a cdot b é o produto interno (ou escalar) dos vetores, e ||a|| e ||b|| são as normas (ou magnitudes) dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto interno entre x e um vetor canônico ei. Lembrando que cada ei é um vetor com 1 na posição i e 0 nas demais. Assim:
x cdot ei = 1 times 1 + 1 times 0 + ldots + 1 times 0 = 1

Passo 4

Agora, vamos encontrar as normas dos vetores. Para x:
||x|| = raiz1^2 + 1^2 + ldots + 1^2 = raizn
E para um vetor canônico ei:
||ei|| = raiz1^2 + 0^2 + ldots + 0^2 = 1

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do cosseno do ângulo:
cos(theta) = 1raizn times 1 = 1raizn
Para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno:
theta = arccos(1raizn)
Isso significa que o ângulo entre x e qualquer vetor canônico é arccos(1raizn).

Passo 6

Agora, vamos verificar se a lista formada por x e os vetores canônicos é linearmente independente. Lembre-se que um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Observando x = (1,1,1,ldots,1), vemos que:
x = e1 + e2 + ldots + en
Isso mostra que x pode ser escrito como a soma dos vetores canônicos. Portanto, a lista x, e1, e2, ldots, en é linearmente dependente.

Resposta

O ângulo entre o vetor x = (1,1,1,ldots,1) e cada vetor canônico é theta = arccos(1raizn). Além disso, a lista formada por x e os vetores da base canônica não é linearmente independente.

Exercícios relacionados