Determine o ângulo entre o vetor
-dimensional
e os vetores canônicos
-dimensionais. Esses vetores são LI? (i.e. a lista formada por
e os vetores da base canônica)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o ângulo entre o vetor
em
dimensões e cada um dos vetores canônicos (os vetores da base padrão). Além disso, vamos verificar se essa lista formada pelo
e os vetores canônicos é linearmente independente (LI). Para isso, vamos usar conceitos de produto interno e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o ângulo entre dois vetores. A fórmula que usamos é:
Aqui,
é o produto interno (ou escalar) dos vetores, e
e
são as normas (ou magnitudes) dos vetores.
Passo 3
Vamos calcular o produto interno entre
e um vetor canônico
. Lembrando que cada
é um vetor com 1 na posição
e 0 nas demais. Assim:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as normas dos vetores. Para
:
E para um vetor canônico
:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula do cosseno do ângulo:
Para encontrar o ângulo
, tiramos o arco cosseno:
Isso significa que o ângulo entre
e qualquer vetor canônico é
.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a lista formada por
e os vetores canônicos é linearmente independente. Lembre-se que um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Observando
, vemos que:
Isso mostra que
pode ser escrito como a soma dos vetores canônicos. Portanto, a lista
é linearmente dependente.
Resposta
O ângulo entre o vetor
e cada vetor canônico é
. Além disso, a lista formada por
e os vetores da base canônica não é linearmente independente.