Se a, b, c e k são constantes, mostre que w=(a cos (c x)+b sen(c x)) e^-k c^2 t satisfaz a equação do calor
partial wpartial t=k partial^2 wpartial x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função satisfaz a equação do calor. Isso envolve trabalhar com derivadas parciais em relação ao tempo partial wpartial t = k partial^2 wpartial x^2 e à posição . Para resolver, vamos precisar calcular a derivada de em relação a , a segunda derivada em relação a e depois verificar se elas se relacionam conforme a equação do calor:

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de w = (a cos(c x) + b sen(c x)) e^-k c^2 t em relação ao tempo partial wpartial t = (a cos(c x) + b sen(c x)) cdot (-k c^2) e^-k c^2 t , ou seja, partial wpartial t = -k c^2 (a cos(c x) + b sen(c x)) e^-k c^2 t .
Temos:
A derivada em relação a só afeta o termo , já que o resto é uma constante em relação a . Usando a regra da derivada da exponencial, temos:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial wpartial x = (-a c sen(c x) + b c cos(c x)) e^-k c^2 t em relação a partial^2 wpartial x^2 = (-a c^2 cos(c x) - b c^2 sen(c x)) e^-k c^2 t , ou seja, partial^2 wpartial x^2 = -c^2 (a cos(c x) + b sen(c x)) e^-k c^2 t .
Primeiro, encontramos a primeira derivada em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a :
Ou seja:

Passo 4

Vamos agora multiplicar a segunda derivada por k partial^2 wpartial x^2 = k cdot (-c^2) (a cos(c x) + b sen(c x)) e^-k c^2 t para comparar com a derivada em relação a k partial^2 wpartial x^2 = -k c^2 (a cos(c x) + b sen(c x)) e^-k c^2 t :
Simplificando:

Passo 5

Comparando as duas expressões que obtivemos:
Vemos que:
partial wpartial t = -k c^2 (a cos(c x) + b sen(c x)) e^-k c^2 t
Ou seja, a função k partial^2 wpartial x^2 = -k c^2 (a cos(c x) + b sen(c x)) e^-k c^2 t satisfaz a equação do calor.

Resposta

A função satisfaz a equação do calor.

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