Se
e
são constantes, mostre que
satisfaz a equação do calor
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função satisfaz a equação do calor. Isso envolve trabalhar com derivadas parciais em relação ao tempo
e à posição
. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada de
em relação a
, a segunda derivada em relação a
e depois verificar se elas se relacionam conforme a equação do calor:
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação ao tempo
, ou seja,
.
Temos:
A derivada em relação a
só afeta o termo
, já que o resto é uma constante em relação a
. Usando a regra da derivada da exponencial, temos:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Primeiro, encontramos a primeira derivada em relação a
:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Ou seja:
Passo 4
Vamos agora multiplicar a segunda derivada por
para comparar com a derivada em relação a
:
Simplificando:
Passo 5
Comparando as duas expressões que obtivemos:
Vemos que:
Ou seja, a função
satisfaz a equação do calor.
Resposta
A função satisfaz a equação do calor.