Um projétil é lançado do ponto (0,0) com uma velocidade inicial de v0 m/s e formando um ângulo positivo alpha com a horizontal (Veja o Exercício 10.1.58.) Assumindo que a resistência do ar seja desprezíel, a posição (em metros) do projétil após t segundos é dada pelas equações paramétricas
x = (v0 * cos(alpha)) * t y = (v0 * sen(alpha)) * t - (1/2) * g * t^2
em que g = 9,8 m/s^2 é a aceleração da gravidade.
(a) Determine a velocidade do projétil quando ele atinge o solo.
(b) Determine a velocidade do projétil no ponto em que sua altura é máxima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento de projéteis! Nós vamos trabalhar com cinemática, que estuda como os objetos se movem. Precisamos das equações que descrevem a posição do projétil ao longo do tempo e entender como calcular a velocidade a partir dessas posições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que descrevem a posição do projétil:
Aqui, é a velocidade inicial, é o ângulo de lançamento, é a aceleração da gravidade, e é o tempo.

Passo 3

Para encontrar a velocidade do projétil quando ele atinge o solo (parte a), precisamos descobrir as componentes da velocidade horizontal e vertical nesse instante.
A velocidade horizontal ( ) é constante porque não há resistência do ar:
A velocidade vertical ( ) varia com o tempo de acordo com:

Passo 4

Primeiro, vamos determinar o tempo que o projétil leva para atingir o solo. Isso acontece quando a posição vertical :
Resolvendo para :
Desconsideramos (instante do lançamento), então:

Passo 5

Agora que temos o tempo quando o projétil atinge o solo, vamos encontrar nesse instante:
A velocidade horizontal permanece .

Passo 6

A velocidade total no instante em que o projétil atinge o solo é a combinação das componentes horizontal e vertical:
Então, a velocidade quando atinge o solo é igual à velocidade inicial .

Passo 7

Agora, para a parte (b), vamos determinar a velocidade do projétil no ponto onde sua altura é máxima.
A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical .
Usando a equação da velocidade vertical:
Resolvendo para :

Passo 8

Neste instante, a velocidade horizontal ainda é e a velocidade vertical é zero. Portanto, a velocidade total é apenas a componente horizontal:

Resposta

(a) A velocidade do projétil quando ele atinge o solo é igual à velocidade inicial, .
(b) A velocidade do projétil no ponto em que sua altura é máxima é .

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