Um projétil é lançado do ponto
com uma velocidade inicial de
e formando um ângulo positivo
com a horizontal (Veja o Exercício 10.1.58.) Assumindo que a resistência do ar seja desprezíel, a posição (em metros) do projétil após
segundos é dada pelas equações paramétricas
em que
é a aceleração da gravidade.
(a) Determine a velocidade do projétil quando ele atinge o solo.
(b) Determine a velocidade do projétil no ponto em que sua altura é máxima.
(a) Determine a velocidade do projétil quando ele atinge o solo.
(b) Determine a velocidade do projétil no ponto em que sua altura é máxima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento de projéteis! Nós vamos trabalhar com cinemática, que estuda como os objetos se movem. Precisamos das equações que descrevem a posição do projétil ao longo do tempo e entender como calcular a velocidade a partir dessas posições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que descrevem a posição do projétil:
Aqui,
é a velocidade inicial,
é o ângulo de lançamento,
é a aceleração da gravidade, e
é o tempo.
Passo 3
Para encontrar a velocidade do projétil quando ele atinge o solo (parte a), precisamos descobrir as componentes da velocidade horizontal e vertical nesse instante.
A velocidade horizontal (
) é constante porque não há resistência do ar:
A velocidade vertical (
) varia com o tempo de acordo com:
Passo 4
Primeiro, vamos determinar o tempo que o projétil leva para atingir o solo. Isso acontece quando a posição vertical
:
Resolvendo para
:
Desconsideramos
(instante do lançamento), então:
Passo 5
Agora que temos o tempo
quando o projétil atinge o solo, vamos encontrar
nesse instante:
A velocidade horizontal permanece
.
Passo 6
A velocidade total
no instante em que o projétil atinge o solo é a combinação das componentes horizontal e vertical:
Então, a velocidade quando atinge o solo é igual à velocidade inicial
.
Passo 7
Agora, para a parte (b), vamos determinar a velocidade do projétil no ponto onde sua altura é máxima.
A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical
.
Usando a equação da velocidade vertical:
Resolvendo para
:
Passo 8
Neste instante, a velocidade horizontal ainda é
e a velocidade vertical é zero. Portanto, a velocidade total é apenas a componente horizontal:
Resposta
(a) A velocidade do projétil quando ele atinge o solo é igual à velocidade inicial,
.
(b) A velocidade do projétil no ponto em que sua altura é máxima é
.