Um ponto se desloca sobre a curva x = 2 sen(t), y = 7 cos(t) - 3, z = f(x, y), onde f(x, y) = raiz(49 - x^2 - y^2). Qual a componente vertical (em z) da velocidade no instante que suas coordenadas são (2, -3, 6) ?

Passo 1

Entendendo o problema: Temos um ponto que se move ao longo de uma curva definida por:
Queremos encontrar a componente vertical da velocidade (ou seja, a taxa de variação de ) no instante em que as coordenadas do ponto são . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas paramétricas e a regra da cadeia.

Passo 2

Encontrando o parâmetro correspondente:
Sabemos que:
Então:
Portanto, o instante considerado é quando .

Passo 3

Calculando as derivadas de e em relação a :
Vamos encontrar as taxas de variação de e em relação ao tempo .
Derivada de em relação a :
Em :
Derivada de em relação a :
Em :

Passo 4

Encontrando a derivada de em relação a ( ):
Como é uma função de e , usamos a regra da cadeia:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de :
Derivada parcial de em relação a :
Derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Substituindo os valores na derivada parcial:
Nos pontos dados :
Então:

Passo 6

Calculando :
Substituindo as derivadas parciais e as taxas de variação de e :
Convertendo para decimal:

Resposta

A componente vertical da velocidade é -3,5 unidades por tempo.

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