Um ponto se desloca sobre a curva
, onde
. Qual a componente vertical (em z) da velocidade no instante que suas coordenadas são
?
Passo 1
Entendendo o problema: Temos um ponto que se move ao longo de uma curva definida por:
Queremos encontrar a componente vertical da velocidade (ou seja, a taxa de variação de
) no instante em que as coordenadas do ponto são
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas paramétricas e a regra da cadeia.
Passo 2
Encontrando o parâmetro
correspondente:
Sabemos que:
Sabemos que:
Então:
Portanto, o instante considerado é quando
.
Passo 3
Calculando as derivadas de
e
em relação a
:
Vamos encontrar as taxas de variação de e
em relação ao tempo
.
Vamos encontrar as taxas de variação de
Derivada de
em relação a
:
Em
:
Derivada de
em relação a
:
Em
:
Passo 4
Encontrando a derivada de
em relação a
(
):
Como é uma função de
e
, usamos a regra da cadeia:
Como
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
:
Derivada parcial de
em relação a
:
Derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Substituindo os valores na derivada parcial:
Nos pontos dados :
Nos pontos dados
Então:
Passo 6
Calculando
:
Substituindo as derivadas parciais e as taxas de variação de e
:
Substituindo as derivadas parciais e as taxas de variação de
Convertendo para decimal:
Resposta
A componente vertical da velocidade é -3,5 unidades por tempo.