Duas partículas se movem ao longo das curvas espaciais
r1(t) = <t, t^2, t^3> r2(t) = <1 + 2t, 1 + 6t, 1 + 14t>
As partículas colidem? Suas trajetórias se interceptam?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos duas partículas se movendo ao longo de trajetórias definidas pelas funções vetoriais:
A matéria envolvida aqui é cinemática vetorial, que estuda o movimento das partículas através de funções vetoriais. Para resolver essa questão, precisamos verificar duas coisas:
  1. Colisão das partículas: Se existe um tempo onde as posições das duas partículas são iguais.
  2. Interseção das trajetórias: Se as curvas espaciais se cruzam em algum ponto, mesmo que em tempos diferentes.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se as partículas colidem, ou seja, se existe um tempo onde .
Isso significa que todas as coordenadas devem ser iguais:
Vamos resolver a primeira equação para encontrar :

Passo 3

Agora que encontramos , vamos verificar se esse valor satisfaz as outras duas equações.
Primeira verificação na segunda equação:
Aqui, , então a segunda equação não é satisfeita.

Passo 4

Como não resolve todas as equações simultaneamente, concluímos que as partículas não colidem. Não há um tempo onde as duas partículas estão na mesma posição ao mesmo tempo.

Passo 5

Agora, vamos verificar se as trajetórias se interceptam. Isso significa que existe algum ponto no espaço que pertence às duas curvas, mesmo que em tempos diferentes e .
Vamos igualar as funções vetoriais com tempos diferentes:
Isso nos dá o sistema:
Vamos resolver a primeira equação para :

Passo 6

Substituímos na segunda equação:
Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando:
Fatorando:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 7

Vamos verificar cada caso:
Caso 1:
Substituindo na primeira equação:
Agora, verificamos a terceira equação:
Aqui, . Então, esse caso é válido.
Caso 2:
Substituindo na primeira equação:
Agora, verificamos a terceira equação:
Também teremos . Portanto, esse caso também é válido.

Passo 8

Encontramos dois pontos de interseção:
  1. Quando , :
  2. Quando , :
Ambos os pontos são iguais, o que significa que as trajetórias se interceptam nesses dois pontos, mas as partículas não estão lá ao mesmo tempo; portanto, não colidem.

Resposta

As partículas não colidem, mas suas trajetórias se interceptam nos pontos e .

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