Mostre que no ponto
a função
não é contínua, porém possui ambas derivadas parciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função
que muda de fórmula dependendo de
ser diferente de
ou igual a
. O objetivo é mostrar que essa função não é contínua no ponto
, mas que, mesmo assim, tem derivadas parciais nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites (para verificar a continuidade) e calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função é contínua no ponto
. Para isso, a gente precisa calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
A função é dada por:
Vamos calcular o limite usando coordenadas polares, onde
e
. Assim:
Note que esse resultado depende do ângulo
. Se o limite depender de
, isso significa que o limite não é único e, portanto, não existe um único valor para o limite quando
se aproxima de
.
Como o limite pode variar entre -1 e 1 dependendo da direção pela qual a gente se aproxima de
, concluímos que:
Portanto, a função não é contínua no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos conferir as derivadas parciais no ponto
. As derivadas parciais são basicamente as taxas de variação da função em relação a cada variável, mantendo a outra variável fixa.
Para a derivada parcial em relação a
:
Como
para
, temos:
Para a derivada parcial em relação a
:
Da mesma forma,
para
, então:
Assim, tanto
quanto
existem e são iguais a 0.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
, mas possui derivadas parciais iguais a zero nesse ponto.