Mostre que no ponto (0,0) a função f(x, y) = { 2xy / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) } não é contínua, porém possui ambas derivadas parciais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função que muda de fórmula dependendo de ser diferente de ou igual a . O objetivo é mostrar que essa função não é contínua no ponto , mas que, mesmo assim, tem derivadas parciais nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites (para verificar a continuidade) e calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função é contínua no ponto . Para isso, a gente precisa calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
A função é dada por:
Vamos calcular o limite usando coordenadas polares, onde e . Assim:
Note que esse resultado depende do ângulo . Se o limite depender de , isso significa que o limite não é único e, portanto, não existe um único valor para o limite quando se aproxima de .
Como o limite pode variar entre -1 e 1 dependendo da direção pela qual a gente se aproxima de , concluímos que:
ã
Portanto, a função não é contínua no ponto .

Passo 3

Agora, vamos conferir as derivadas parciais no ponto . As derivadas parciais são basicamente as taxas de variação da função em relação a cada variável, mantendo a outra variável fixa.
Para a derivada parcial em relação a :
Como para , temos:
Para a derivada parcial em relação a :
Da mesma forma, para , então:
Assim, tanto quanto existem e são iguais a 0.

Resposta

A função não é contínua no ponto , mas possui derivadas parciais iguais a zero nesse ponto.

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