Se e são reais positivos, prove a igualdade:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar uma igualdade envolvendo potências e logaritmos com três números positivos , e . A matéria que vamos usar aqui é álgebra de potências e propriedades dos logaritmos. Para resolver, vamos precisar manipular as expressões exponenciais e aplicar algumas regras dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer a estrutura da expressão que precisamos provar:
Queremos mostrar que todo esse produto é igual a 1.

Passo 3

Vamos simplificar cada termo usando a propriedade dos potências que diz que . Aplicando isso, temos:

Passo 4

Agora, substituímos essas expressões de volta no produto original:

Passo 5

Vamos agrupar as potências com a mesma base:
  • Para a base :
  • Para a base :
  • Para a base :
Então, a expressão fica:

Passo 6

Vamos lembrar que . Aplicando isso:

Passo 7

Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz . Assim:

Passo 8

Notamos que cada termo do produto é o inverso do próximo:
  • e são inversos quando , , e são positivos.
  • Assim, ao multiplicar todos, os termos se cancelam.

Passo 9

Portanto, o produto total é igual a 1:

Resposta

A igualdade é verdadeira, ou seja,

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