Se
e
são reais positivos, prove a igualdade:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar uma igualdade envolvendo potências e logaritmos com três números positivos
,
e
. A matéria que vamos usar aqui é álgebra de potências e propriedades dos logaritmos. Para resolver, vamos precisar manipular as expressões exponenciais e aplicar algumas regras dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer a estrutura da expressão que precisamos provar:
Queremos mostrar que todo esse produto é igual a 1.
Passo 3
Vamos simplificar cada termo usando a propriedade dos potências que diz que
. Aplicando isso, temos:
Passo 4
Agora, substituímos essas expressões de volta no produto original:
Passo 5
Vamos agrupar as potências com a mesma base:
- Para a base
:
- Para a base
:
- Para a base
:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Vamos lembrar que
. Aplicando isso:
Passo 7
Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz
. Assim:
Passo 8
Notamos que cada termo do produto é o inverso do próximo:
-
e são inversos quando , , e são positivos. - Assim, ao multiplicar todos, os termos se cancelam.
Passo 9
Portanto, o produto total é igual a 1:
Resposta
A igualdade é verdadeira, ou seja,
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Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos (
e
são reais positivos):
.
Elimine os expoente negativos das seguinte expressões:
.
Um botânico, encantado com o pau-brasil, dedicou-se, durante anos de estudos, a conseguir criar uma função exponencial que medisse o crescimento dessa arvore no decorrer do tempo. Sua conclusão foi que, ao plantar-se essa arvore, seu crescimento, no decorrer dos anos, é dado por
. Analisando essa função, quanto tempo essa árvore leva para atingir a altura de 32 metros?
Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos (
e
são reais positivos):
.