Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos (
e
são reais positivos):
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a expressão
e precisa desenvolvê-la usando as propriedades dos logaritmos. Então, vamos usar as regras de logaritmos que lidam com divisão, multiplicação e potência para simplificar essa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos o logaritmo de uma divisão, a gente pode separar isso em uma subtração de logaritmos. A regra é:
Aplicando essa regra na nossa expressão:
Passo 3
Agora, vamos expandir
. Quando temos o logaritmo de um produto, a gente pode separar isso em uma soma de logaritmos. A regra é:
Aplicando isso:
Passo 4
Do mesmo jeito, vamos expandir
:
Passo 5
Agora, vamos lidar com o termo
. Quando temos o logaritmo de uma potência, podemos trazer o expoente para frente. A regra é:
Aplicando isso:
Passo 6
Vamos juntar tudo que desenvolvemos até agora:
Passo 7
Agora, vamos simplificar a expressão:
Podemos combinar os termos semelhantes:
Então, a expressão fica:
Resposta
A expressão desenvolvida é:
Exercícios relacionados
Elimine os expoente negativos das seguinte expressões:
.
Calcule e justifique.
6.
6.
Se
e
são reais positivos, prove a igualdade:
Um botânico, encantado com o pau-brasil, dedicou-se, durante anos de estudos, a conseguir criar uma função exponencial que medisse o crescimento dessa arvore no decorrer do tempo. Sua conclusão foi que, ao plantar-se essa arvore, seu crescimento, no decorrer dos anos, é dado por
. Analisando essa função, quanto tempo essa árvore leva para atingir a altura de 32 metros?