Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos ( e são reais positivos): .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a expressão e precisa desenvolvê-la usando as propriedades dos logaritmos. Então, vamos usar as regras de logaritmos que lidam com divisão, multiplicação e potência para simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos o logaritmo de uma divisão, a gente pode separar isso em uma subtração de logaritmos. A regra é:
Aplicando essa regra na nossa expressão:

Passo 3

Agora, vamos expandir . Quando temos o logaritmo de um produto, a gente pode separar isso em uma soma de logaritmos. A regra é:
Aplicando isso:

Passo 4

Do mesmo jeito, vamos expandir :

Passo 5

Agora, vamos lidar com o termo . Quando temos o logaritmo de uma potência, podemos trazer o expoente para frente. A regra é:
Aplicando isso:

Passo 6

Vamos juntar tudo que desenvolvemos até agora:

Passo 7

Agora, vamos simplificar a expressão:
Podemos combinar os termos semelhantes:
Então, a expressão fica:

Resposta

A expressão desenvolvida é:

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Elimine os expoente negativos das seguinte expressões: .
Calcule e justifique.
6.
Se e são reais positivos, prove a igualdade:
Um botânico, encantado com o pau-brasil, dedicou-se, durante anos de estudos, a conseguir criar uma função exponencial que medisse o crescimento dessa arvore no decorrer do tempo. Sua conclusão foi que, ao plantar-se essa arvore, seu crescimento, no decorrer dos anos, é dado por . Analisando essa função, quanto tempo essa árvore leva para atingir a altura de 32 metros?