Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos ( a, b e c são reais positivos): log_5(4 a b^3 / (b c)).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a expressão log_5(4 a b^3 / (b c)) e precisa desenvolvê-la usando as propriedades dos logaritmos. Então, vamos usar as regras de logaritmos que lidam com divisão, multiplicação e potência para simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos o logaritmo de uma divisão, a gente pode separar isso em uma subtração de logaritmos. A regra é:
Aplicando essa regra na nossa expressão:

Passo 3

Agora, vamos expandir . Quando temos o logaritmo de um produto, a gente pode separar isso em uma soma de logaritmos. A regra é:
Aplicando isso:

Passo 4

Do mesmo jeito, vamos expandir :

Passo 5

Agora, vamos lidar com o termo . Quando temos o logaritmo de uma potência, podemos trazer o expoente para frente. A regra é:
Aplicando isso:

Passo 6

Vamos juntar tudo que desenvolvemos até agora:

Passo 7

Agora, vamos simplificar a expressão:
Podemos combinar os termos semelhantes:
Então, a expressão fica:

Resposta

A expressão desenvolvida é:

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