Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos ( e são reais positivos): .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu a seguinte expressão para desenvolver usando as propriedades dos logaritmos:
Vamos trabalhar com logaritmos, que são funções que nos ajudam a resolver equações exponenciais. Para resolver esse exercício, vamos precisar usar propriedades como a do quociente, do produto e as potências dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da propriedade do quociente dos logaritmos, que diz que:
Aplicando isso na nossa expressão:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a propriedade do produto, que nos diz que:
Aplicando isso nos dois termos separados:
e
Então, nossa expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos usar a propriedade das potências nos logaritmos, que diz que:
Aplicando isso em cada termo:
Substituindo na expressão:

Passo 5

Agora, vamos distribuir o sinal de menos na segunda parte da expressão:
Vamos juntar os termos semelhantes:
Para simplificar , encontramos um denominador comum, que é 6:
Então, a expressão fica:

Resposta

Portanto, a expressão desenvolvida é:

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Um botânico, encantado com o pau-brasil, dedicou-se, durante anos de estudos, a conseguir criar uma função exponencial que medisse o crescimento dessa arvore no decorrer do tempo. Sua conclusão foi que, ao plantar-se essa arvore, seu crescimento, no decorrer dos anos, é dado por . Analisando essa função, quanto tempo essa árvore leva para atingir a altura de 32 metros?
Se e são reais positivos, prove a igualdade:
Se , determine o valor de em termos de e .
Sabendo que e , calcule o valor de . Sugestão: .