Um botânico, encantado com o pau-brasil, dedicou-se, durante anos de estudos, a conseguir criar uma função exponencial que medisse o crescimento dessa arvore no decorrer do tempo. Sua conclusão foi que, ao plantar-se essa arvore, seu crescimento, no decorrer dos anos, é dado por . Analisando essa função, quanto tempo essa árvore leva para atingir a altura de 32 metros?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma árvore que cresce de acordo com a função exponencial , onde é a altura da árvore em metros após anos. A gente precisa descobrir quanto tempo (quanto valor de ) essa árvore leva para atingir 32 metros de altura. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções exponenciais e como resolver equações exponenciais usando logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a função igual a 32 metros para achar o tempo :
Nosso objetivo é isolar .

Passo 3

Vamos dividir os dois lados da equação por 0.5 para simplificar:

Passo 4

Agora, precisamos resolver . Sabemos que é uma potência de 2. Vamos lembrar que:
Então,
Como as bases são iguais, os expoentes também devem ser iguais:

Passo 5

Agora, é só resolver para :

Resposta

A árvore leva 7 anos para atingir a altura de 32 metros.

Exercícios relacionados

Se e são reais positivos, prove a igualdade:
Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos ( e são reais positivos): .
Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos ( e são reais positivos): .
Se , determine o valor de em termos de e .