Um botânico, encantado com o pau-brasil, dedicou-se, durante anos de estudos, a conseguir criar uma função exponencial que medisse o crescimento dessa arvore no decorrer do tempo. Sua conclusão foi que, ao plantar-se essa arvore, seu crescimento, no decorrer dos anos, é dado por
. Analisando essa função, quanto tempo essa árvore leva para atingir a altura de 32 metros?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma árvore que cresce de acordo com a função exponencial
, onde
é a altura da árvore em metros após
anos. A gente precisa descobrir quanto tempo (quanto valor de
) essa árvore leva para atingir 32 metros de altura. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções exponenciais e como resolver equações exponenciais usando logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a função igual a 32 metros para achar o tempo
:
Nosso objetivo é isolar
.
Passo 3
Vamos dividir os dois lados da equação por 0.5 para simplificar:
Passo 4
Agora, precisamos resolver
. Sabemos que
é uma potência de 2. Vamos lembrar que:
Então,
Como as bases são iguais, os expoentes também devem ser iguais:
Passo 5
Agora, é só resolver para
:
Resposta
A árvore leva 7 anos para atingir a altura de 32 metros.
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Se
e
são reais positivos, prove a igualdade:
Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos (
e
são reais positivos):
.
Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos (
e
são reais positivos):
.
Se
, determine o valor de
em termos de
e
.