Se A=(0, a), B=(a,-4) e C=(1,2), para quais valores de a existe o triângulo A B C ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem três pontos , e . A questão é: para quais valores de esses três pontos formam um triângulo? Para isso, precisamos entender que três pontos formam um triângulo se eles não estão todos na mesma linha reta. Ou seja, precisamos garantir que os pontos não sejam colineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como verificar se três pontos são colineares. Uma forma prática é calcular a área do triângulo formado por eles. Se a área for zero, os pontos estão na mesma linha reta e, portanto, não formam um triângulo. A fórmula para a área de um triângulo dado três pontos Área = 12 | x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2) | , e é:
Á

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula com os nossos pontos Área = 12 | 0(-4 - 2) + a(2 - a) + 1(a - (-4)) | , Área = 12 | 0(-6) + a(2 - a) + 1(a + 4) | e Área = 12 | 0 + 2a - a^2 + a + 4 | :
Área = 12 | -a^2 + 3a + 4 | Á
Simplificando os cálculos dentro do valor absoluto:
Á
Á
Á

Passo 4

Para que os pontos sejam colineares, a área precisa ser zero:
12 | -a^2 + 3a + 4 | = 0
Isso significa que:
- a^2 + 3a + 4 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de a^2 - 3a - 4 = 0 :
a = 3 pm raiz9 + 162
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
a = 3 pm raiz252
a = 3 pm 52
a = 3 + 52 = 4 e a = 3 - 52 = -1
Então, as soluções são:

Resposta

Um triângulo existe para todos os valores de , exceto quando ou .

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