Chamamos de trapézio um quadrilátero que tem dois, e somente dois, lados paralelos. Um trapézio é chamado de reto se tem um ângulo reto. Mostre que é um trapézio reto, onde e , num sistema ortonormal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um quadrilátero com os pontos , , e . O objetivo é mostrar que esse quadrilátero é um trapézio reto. Isso significa que ele tem dois lados paralelos e um ângulo reto. Para isso, vamos precisar saber como calcular a inclinação dos lados para verificar a paralelismo e também usar o produto escalar para identificar o ângulo reto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais lados são paralelos. Para isso, vamos calcular a inclinação de cada lado usando a fórmula da inclinação entre dois pontos e :
Vamos calcular as inclinações de , , e .
Passo 3
Calculando a inclinação de entre e :
Isso significa que o lado é horizontal.
Passo 4
Agora, a inclinação de entre e :
Passo 5
Em seguida, a inclinação de entre e :
Passo 6
Por fim, a inclinação de entre e :
Passo 7
Agora, vamos ver quais lados são paralelos. Lados paralelos têm a mesma inclinação. Observamos que:
Então, os lados e são paralelos. Portanto, temos dois lados paralelos, confirmando que é um trapézio.
Passo 8
Agora, vamos verificar se há um ângulo reto. Para isso, vamos calcular o produto escalar entre dois lados que se encontram em um ponto para ver se eles são perpendiculares. Vamos calcular entre os lados e .
Primeiro, encontramos os vetores:
O produto escalar é:
Como o produto escalar não é zero, esses lados não são perpendiculares. Vamos tentar com e .
Passo 9
Calculando os vetores:
Produto escalar:
Como o produto escalar é zero, os lados e são perpendiculares, formando um ângulo reto no ponto .