Chamamos de trapézio um quadrilátero que tem dois, e somente dois, lados paralelos. Um trapézio é chamado de reto se tem um ângulo reto. Mostre que
é um trapézio reto, onde
e
, num sistema ortonormal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um quadrilátero
com os pontos
,
,
e
. O objetivo é mostrar que esse quadrilátero é um trapézio reto. Isso significa que ele tem dois lados paralelos e um ângulo reto. Para isso, vamos precisar saber como calcular a inclinação dos lados para verificar a paralelismo e também usar o produto escalar para identificar o ângulo reto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais lados são paralelos. Para isso, vamos calcular a inclinação de cada lado usando a fórmula da inclinação entre dois pontos
e
:
Vamos calcular as inclinações de
,
,
e
.
Passo 3
Calculando a inclinação de
entre
e
:
Isso significa que o lado
é horizontal.
Passo 4
Agora, a inclinação de
entre
e
:
Passo 5
Em seguida, a inclinação de
entre
e
:
Passo 6
Por fim, a inclinação de
entre
e
:
Passo 7
Agora, vamos ver quais lados são paralelos. Lados paralelos têm a mesma inclinação. Observamos que:
Então, os lados
e
são paralelos. Portanto, temos dois lados paralelos, confirmando que é um trapézio.
Passo 8
Agora, vamos verificar se há um ângulo reto. Para isso, vamos calcular o produto escalar entre dois lados que se encontram em um ponto para ver se eles são perpendiculares. Vamos calcular entre os lados
e
.
Primeiro, encontramos os vetores:
O produto escalar é:
Como o produto escalar não é zero, esses lados não são perpendiculares. Vamos tentar com
e
.
Passo 9
Calculando os vetores:
Produto escalar:
Como o produto escalar é zero, os lados
e
são perpendiculares, formando um ângulo reto no ponto
.
Resposta
Portanto, o quadrilátero
é um trapézio reto.