Chamamos de trapézio um quadrilátero que tem dois, e somente dois, lados paralelos. Um trapézio é chamado de reto se tem um ângulo reto. Mostre que A B C D é um trapézio reto, onde A=(6,5), B=(11,5), C=(3,1) e D=(2,3), num sistema ortonormal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um quadrilátero com os pontos , , e . O objetivo é mostrar que esse quadrilátero é um trapézio reto. Isso significa que ele tem dois lados paralelos e um ângulo reto. Para isso, vamos precisar saber como calcular a inclinação dos lados para verificar a paralelismo e também usar o produto escalar para identificar o ângulo reto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais lados são paralelos. Para isso, vamos calcular a inclinação de cada lado usando a fórmula da inclinação entre dois pontos m = y2 - y1x2 - x1 e :
Vamos calcular as inclinações de , , e .

Passo 3

Calculando a inclinação de mAB = 5 - 511 - 6 = 05 = 0 entre e :
Isso significa que o lado é horizontal.

Passo 4

Agora, a inclinação de mBC = 1 - 53 - 11 = -4-8 = 12 entre e :

Passo 5

Em seguida, a inclinação de mCD = 3 - 12 - 3 = 2-1 = -2 entre e :

Passo 6

Por fim, a inclinação de mDA = 5 - 36 - 2 = 24 = 12 entre e :

Passo 7

Agora, vamos ver quais lados são paralelos. Lados paralelos têm a mesma inclinação. Observamos que:
mBC = mDA = 12
Então, os lados e são paralelos. Portanto, temos dois lados paralelos, confirmando que é um trapézio.

Passo 8

Agora, vamos verificar se há um ângulo reto. Para isso, vamos calcular o produto escalar entre dois lados que se encontram em um ponto para ver se eles são perpendiculares. Vamos calcular entre os lados A B = (11 - 6, 5 - 5) = (5, 0) e B C = (3 - 11, 1 - 5) = (-8, -4) .
Primeiro, encontramos os vetores:
A B cdot B C = (5)(-8) + (0)(-4) = -40 + 0 = -40
O produto escalar é:
Como o produto escalar não é zero, esses lados não são perpendiculares. Vamos tentar com e .

Passo 9

Calculando os vetores:
B C = (-8, -4)
C D = (2 - 3, 3 - 1) = (-1, 2)
Produto escalar:
B C cdot C D = (-8)(-1) + (-4)(2) = 8 - 8 = 0
Como o produto escalar é zero, os lados e são perpendiculares, formando um ângulo reto no ponto .

Resposta

Portanto, o quadrilátero é um trapézio reto.

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