O baricentro de um triângulo A B C é G=(1,6) e dois dos seus vértices são A=(2,5) e B=(4,7). Determine seu terceiro vértice.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um triângulo A B C cujo baricentro (também conhecido como centroide) é o ponto G=(1,6). Sabemos as coordenadas de dois vértices desse triângulo: A=(2,5) e B=(4,7). Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do terceiro vértice C. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do baricentro, que nos ajuda a relacionar as coordenadas dos vértices com as do centroide.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o baricentro. Em um triângulo, o baricentro é o ponto onde as três medianas se encontram, e sua coordenada é a média das coordenadas dos vértices. A fórmula para encontrar as coordenadas do baricentro G=(Gx, Gy) é:
Gx = Ax + Bx + Cx3 Gy = Ay + By + Cy3
Aqui, Ax e Ay são as coordenadas de A, Bx e By são as de B, e Cx e Cy serão as do vértice que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula com os valores que temos. Sabemos que G=(1,6), A=(2,5) e B=(4,7). Vamos substituir esses valores nas equações:
Para a coordenada x:
1 = 2 + 4 + Cx3
Para a coordenada y:
6 = 5 + 7 + Cy3

Passo 4

Agora, vamos resolver essas equações para encontrar Cx e Cy.
Primeiro, para Cx:
1 = 2 + 4 + Cx3 1 times 3 = 6 + Cx 3 = 6 + Cx Cx = 3 - 6 Cx = -3
Agora, para Cy:
6 = 5 + 7 + Cy3 6 times 3 = 12 + Cy 18 = 12 + Cy Cy = 18 - 12 Cy = 6

Resposta

O terceiro vértice C do triângulo é C=(-3,6).

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