Dados os vértices consecutivos
e
, de um paralelogramo, e o ponto
, intersecção de suas diagonais, determinar os outros dois vértices.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! Temos dois vértices consecutivos
e
de um paralelogramo, e o ponto
, que é a intersecção das diagonais. Nosso objetivo é encontrar os outros dois vértices faltantes. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente as propriedades dos paralelogramos e o comportamento das diagonais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, num paralelogramo, as diagonais se cortam exatamente na metade. Ou seja, o ponto
é o ponto médio de ambas as diagonais. Vamos chamar os outros dois vértices de
e
.
Passo 3
Vamos considerar as diagonais
e
. Como
é o ponto médio da diagonal
, podemos usar a fórmula do ponto médio para encontrar as coordenadas de
.
A fórmula do ponto médio entre dois pontos
e
é:
Passo 4
Sabemos que
é o ponto médio de
, então:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos resolver as equações para
e
:
Para a coordenada
:
Para a coordenada
:
Então, o vértice
tem coordenadas
.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o vértice
. Sabemos que
também é o ponto médio da diagonal
. Usando a mesma fórmula do ponto médio:
Substituindo os valores:
Passo 7
Resolvendo para
e
:
Para a coordenada
:
Para a coordenada
:
Portanto, o vértice
tem coordenadas
.
Resposta
Os outros dois vértices do paralelogramo são
e
.
Exercícios relacionados
Dados
e
, vértices consecutivos de um quadrado, determinar os outros dois vértices.
Determinar
de modo que o triângulo de vértices
e
seja retângulo em
.
Se
e
, para quais valores de a existe o triângulo
?