Dados os vértices consecutivos A=(-2,1) e B=(4,4), de um paralelogramo, e o ponto E=(3,-1), intersecção de suas diagonais, determinar os outros dois vértices.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! Temos dois vértices consecutivos A=(-2,1) e B=(4,4) de um paralelogramo, e o ponto E=(3,-1), que é a intersecção das diagonais. Nosso objetivo é encontrar os outros dois vértices faltantes. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente as propriedades dos paralelogramos e o comportamento das diagonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, num paralelogramo, as diagonais se cortam exatamente na metade. Ou seja, o ponto E é o ponto médio de ambas as diagonais. Vamos chamar os outros dois vértices de C e D.

Passo 3

Vamos considerar as diagonais AC e BD. Como E é o ponto médio da diagonal AC, podemos usar a fórmula do ponto médio para encontrar as coordenadas de C.
A fórmula do ponto médio entre dois pontos P(xp, yp) e Q(xq, yq) é:
M = ( xp + xq2, yp + yq2 )

Passo 4

Sabemos que E é o ponto médio de AC, então:
E = ( xA + xC2, yA + yC2 )
Substituindo os valores:
(3, -1) = ( -2 + xC2, 1 + yC2 )

Passo 5

Agora, vamos resolver as equações para xC e yC:
Para a coordenada x:
3 = -2 + xC2 Rightarrow -2 + xC = 6 Rightarrow xC = 8
Para a coordenada y:
-1 = 1 + yC2 Rightarrow 1 + yC = -2 Rightarrow yC = -3
Então, o vértice C tem coordenadas (8, -3).

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o vértice D. Sabemos que E também é o ponto médio da diagonal BD. Usando a mesma fórmula do ponto médio:
E = ( xB + xD2, yB + yD2 )
Substituindo os valores:
(3, -1) = ( 4 + xD2, 4 + yD2 )

Passo 7

Resolvendo para xD e yD:
Para a coordenada x:
3 = 4 + xD2 Rightarrow 4 + xD = 6 Rightarrow xD = 2
Para a coordenada y:
-1 = 4 + yD2 Rightarrow 4 + yD = -2 Rightarrow yD = -6
Portanto, o vértice D tem coordenadas (2, -6).

Resposta

Os outros dois vértices do paralelogramo são C=(8, -3) e D=(2, -6).

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