b) Calcule a área da região limitada pelo gráfico de y = x^3, pelo eixo x e pelas retas x = -1 e x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região limitada pelo gráfico de , pelo eixo e pelas retas e . Para isso, vamos usar o cálculo integral, que é uma ferramenta poderosa para encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a área entre uma curva e o eixo . Quando temos uma função como , o gráfico dela vai para cima quando é positivo e para baixo quando é negativo. O cálculo integral nos ajuda a somar infinitas fatias pequenas dessa área para encontrar o total.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. As retas verticais e nos dizem de onde a gente começa e onde a gente termina. Então, nosso intervalo de integração vai de até .

Passo 4

Como é negativa quando está entre -1 e 0, e positiva entre 0 e 1, precisamos considerar o valor absoluto da função para garantir que a área seja sempre positiva. Mas, para facilitar, podemos calcular a área de cada parte separadamente e depois somar.

Passo 5

Vamos calcular a área de até . A função é , mas como está abaixo do eixo , a área será o integral de :

Passo 6

Calculando esse integral:

Passo 7

Agora, vamos calcular a área de até . Aqui, a função está acima do eixo , então a área é:

Passo 8

Calculando esse integral:

Passo 9

Finalmente, somamos as duas áreas para obter a área total da região:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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