Calcule as respectivas derivadas: f(x)=integralx^0 e^4 t^2 d t

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo que nos ajuda a encontrar derivadas de integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos os limites de integração da função . Aqui, o limite inferior é e o limite superior é . Isso significa que a função estamos integrando depende de , o que afeta a derivada que vamos calcular.

Passo 3

O Teorema Fundamental do Cálculo, na sua forma para derivadas de integrais com limites variáveis, nos diz que:
ddx ( integrala(x)^b(x) g(t) , dt ) = g(b(x)) cdot b'(x) - g(a(x)) cdot a'(x)
Nesse caso, , e .

Passo 4

Aplicando a fórmula do teorema, vamos calcular cada parte:
  1. Derivada do limite superior b'(x) = ddx(0) = 0 :
g(0) = e^4 cdot 0^2 = e^0 = 1
  1. Função avaliada no limite superior a'(x) = ddx(x) = 1 :
g(x) = e^4 x^2
  1. Derivada do limite inferior :
  1. Função avaliada no limite inferior :

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do teorema, temos:
f'(x) = g(b(x)) cdot b'(x) - g(a(x)) cdot a'(x) = 1 cdot 0 - e^4 x^2 cdot 1 = -e^4 x^2

Resposta

A derivada da função é .

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