Se
tem um valor mínimo local em
, mostre que a função
tem um valor máximo local em
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função
que alcança um valor mínimo local em um ponto
. A tarefa é mostrar que a função
, ou seja, o oposto de
, tem um valor máximo local também em
. A gente vai precisar entender o que significa um mínimo e um máximo local, e como o sinal da função afeta isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um valor mínimo local. Dizemos que
tem um mínimo local em
se, em torno desse ponto, todos os valores de
são maiores ou iguais a
. Matematicamente, isso significa que existe um intervalo ao redor de
onde, para todo
nesse intervalo,
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. Queremos mostrar que
tem um máximo local em
. Um máximo local acontece quando, em torno de
, todos os valores da função são menores ou iguais a
. Então, precisamos provar que existe um intervalo ao redor de
onde, para todo
nesse intervalo,
.
Passo 4
Vamos substituir
por
na desigualdade que queremos mostrar:
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que isso inverte a desigualdade):
Essa última expressão é exatamente o que sabemos que é verdade, porque
tem um mínimo local em
.
Passo 5
Como chegamos à conclusão de que
para todo
próximo a
, isso significa que
tem um máximo local em
, já que os valores de
são menores ou iguais a
nesse intervalo.
Resposta
Portanto, se
tem um valor mínimo local em
, então a função
tem um valor máximo local em
.
Exercícios relacionados
b) Calcule a área da região limitada pelo gráfico de
, pelo eixo
e pelas retas
e
.
Esboce em cada item o gráfico de uma função
e tenha as propriedades dadas.
(f) Tenha um máximo local, mas não tenha máximo absoluto.
(f) Tenha um máximo local, mas não tenha máximo absoluto.
Calcule as respectivas derivadas:
Calcule as respectivas derivadas: