Se tem um valor mínimo local em , mostre que a função tem um valor máximo local em .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função que alcança um valor mínimo local em um ponto . A tarefa é mostrar que a função , ou seja, o oposto de , tem um valor máximo local também em . A gente vai precisar entender o que significa um mínimo e um máximo local, e como o sinal da função afeta isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um valor mínimo local. Dizemos que tem um mínimo local em se, em torno desse ponto, todos os valores de são maiores ou iguais a . Matematicamente, isso significa que existe um intervalo ao redor de onde, para todo nesse intervalo, .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . Queremos mostrar que tem um máximo local em . Um máximo local acontece quando, em torno de , todos os valores da função são menores ou iguais a . Então, precisamos provar que existe um intervalo ao redor de onde, para todo nesse intervalo, .

Passo 4

Vamos substituir por na desigualdade que queremos mostrar:
Multiplicando ambos os lados por (lembrando que isso inverte a desigualdade):
Essa última expressão é exatamente o que sabemos que é verdade, porque tem um mínimo local em .

Passo 5

Como chegamos à conclusão de que para todo próximo a , isso significa que tem um máximo local em , já que os valores de são menores ou iguais a nesse intervalo.

Resposta

Portanto, se tem um valor mínimo local em , então a função tem um valor máximo local em .

Exercícios relacionados

b) Calcule a área da região limitada pelo gráfico de , pelo eixo e pelas retas e .
Esboce em cada item o gráfico de uma função e tenha as propriedades dadas.
(f) Tenha um máximo local, mas não tenha máximo absoluto.
Calcule as respectivas derivadas:
Calcule as respectivas derivadas: