Se f tem um valor mínimo local em c, mostre que a função g(x) = -f(x) tem um valor máximo local em c.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função f que alcança um valor mínimo local em um ponto c. A tarefa é mostrar que a função , ou seja, o oposto de f(x), tem um valor máximo local também em c. A gente vai precisar entender o que significa um mínimo e um máximo local, e como o sinal da função afeta isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um valor mínimo local. Dizemos que f tem um mínimo local em c se, em torno desse ponto, todos os valores de f(x) são maiores ou iguais a . Matematicamente, isso significa que existe um intervalo ao redor de c onde, para todo x nesse intervalo, .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . Queremos mostrar que g tem um máximo local em c. Um máximo local acontece quando, em torno de c, todos os valores da função são menores ou iguais a . Então, precisamos provar que existe um intervalo ao redor de c onde, para todo x nesse intervalo, .

Passo 4

Vamos substituir g(x) por -f(x) na desigualdade que queremos mostrar:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando que isso inverte a desigualdade):
Essa última expressão é exatamente o que sabemos que é verdade, porque f tem um mínimo local em c.

Passo 5

Como chegamos à conclusão de que para todo x próximo a c, isso significa que tem um máximo local em c, já que os valores de g(x) são menores ou iguais a nesse intervalo.

Resposta

Portanto, se f tem um valor mínimo local em c, então a função tem um valor máximo local em c.

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