Esboce em cada item o gráfico de uma função
e tenha as propriedades dadas.
(f) Tenha um máximo local, mas não tenha máximo absoluto.
(f) Tenha um máximo local, mas não tenha máximo absoluto.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar o gráfico de uma função
que tenha um máximo local, mas não tenha um máximo absoluto. Isso significa que dentro do intervalo de 1 a 5, a função deve ter um ponto onde atinge um pico (máximo local), mas não pode ter o ponto mais alto de todos dentro desse intervalo (máximo absoluto). Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de máximo local e máximo absoluto e como eles se aplicam em funções definidas em intervalos fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um máximo local. Um ponto
em que a função
atinge um valor maior que os valores ao seu redor é chamado de máximo local. Ou seja, existe um intervalo pequeno ao redor de
onde
é o maior valor.
Já o máximo absoluto é o maior valor que a função alcança em todo o intervalo considerado. Se existe um ponto
tal que
para todo
em
, então
é o máximo absoluto.
Passo 3
Para criar uma função que tenha um máximo local, mas não um máximo absoluto, precisamos que a função alcance um pico em algum ponto, mas não tenha um ponto mais alto que seja o maior de todo o intervalo. Isso pode acontecer se a função se aproxima cada vez mais de um valor alto, mas nunca o atinge realmente dentro do intervalo.
Passo 4
Vamos imaginar uma função que se aproxima de um valor alto próximo a
, criando um pico, mas esse pico nunca atinge o valor máximo absoluto. Por exemplo, uma função que aumenta conforme se aproxima de 3, atinge um pico em
, mas depois diminui novamente sem atingir nunca um valor mais alto que aquele pico.
Passo 5
Então, o gráfico dessa função seria algo assim:
- A função começa em
com um valor baixo. - Conforme
aumenta até chegar perto de 3, a função cresce, formando um pico em — esse é o nosso máximo local. - Depois de
, a função começa a decrescer novamente até chegar em .
Importante notar que, apesar de haver esse pico, a função nunca atinge um valor máximo absoluto porque o pico não é o maior valor alcançado em todo o intervalo de forma definitiva.
Resposta
O gráfico da função em
apresenta um pico em
(máximo local), mas não possui um ponto que seja o maior valor absoluto em todo o intervalo. Assim, a função tem um máximo local, porém não possui um máximo absoluto.