Esboce em cada item o gráfico de uma função f: [1, 5] -> R e tenha as propriedades dadas.
(f) Tenha um máximo local, mas não tenha máximo absoluto.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar o gráfico de uma função que tenha um máximo local, mas não tenha um máximo absoluto. Isso significa que dentro do intervalo de 1 a 5, a função deve ter um ponto onde atinge um pico (máximo local), mas não pode ter o ponto mais alto de todos dentro desse intervalo (máximo absoluto). Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de máximo local e máximo absoluto e como eles se aplicam em funções definidas em intervalos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um máximo local. Um ponto em que a função atinge um valor maior que os valores ao seu redor é chamado de máximo local. Ou seja, existe um intervalo pequeno ao redor de onde é o maior valor.
Já o máximo absoluto é o maior valor que a função alcança em todo o intervalo considerado. Se existe um ponto tal que para todo em , então é o máximo absoluto.

Passo 3

Para criar uma função que tenha um máximo local, mas não um máximo absoluto, precisamos que a função alcance um pico em algum ponto, mas não tenha um ponto mais alto que seja o maior de todo o intervalo. Isso pode acontecer se a função se aproxima cada vez mais de um valor alto, mas nunca o atinge realmente dentro do intervalo.

Passo 4

Vamos imaginar uma função que se aproxima de um valor alto próximo a , criando um pico, mas esse pico nunca atinge o valor máximo absoluto. Por exemplo, uma função que aumenta conforme se aproxima de 3, atinge um pico em , mas depois diminui novamente sem atingir nunca um valor mais alto que aquele pico.

Passo 5

Então, o gráfico dessa função seria algo assim:
  • A função começa em com um valor baixo.
  • Conforme aumenta até chegar perto de 3, a função cresce, formando um pico em — esse é o nosso máximo local.
  • Depois de , a função começa a decrescer novamente até chegar em .
Importante notar que, apesar de haver esse pico, a função nunca atinge um valor máximo absoluto porque o pico não é o maior valor alcançado em todo o intervalo de forma definitiva.

Resposta

O gráfico da função em apresenta um pico em (máximo local), mas não possui um ponto que seja o maior valor absoluto em todo o intervalo. Assim, a função tem um máximo local, porém não possui um máximo absoluto.

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