(b) Calcule o comprimento do gráfico de no intervalo . (resposta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento do gráfico da função no intervalo de até . Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente ao cálculo de comprimento de arco. Para isso, a gente vai precisar usar a fórmula do comprimento de arco e fazer algumas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um gráfico entre e . A fórmula é:
Isso significa que a gente precisa:
Encontrar a derivada de , ou seja, .
Calcular .
Tirar a raiz quadrada desse resultado.
Integrar essa expressão no intervalo dado.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de .
Passo 4
Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado e somar 1:
Simplificando:
Passo 5
Perceba que é uma expressão que podemos simplificar usando a identidade hiperbólica:
Então:
Passo 6
Agora, a expressão dentro da raiz quadrada fica:
Sabemos que , então:
Portanto:
Passo 7
Agora, podemos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Passo 8
Vamos calcular essa integral. A integral de é . Então:
Passo 9
Calculando os valores:
Sabemos que . Então:
E .
Então:
Resposta
O comprimento do gráfico de no intervalo é aproximadamente 2.7623 unidades.