(b) Calcule o comprimento do gráfico de no intervalo . (resposta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento do gráfico da função no intervalo de até . Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente ao cálculo de comprimento de arco. Para isso, a gente vai precisar usar a fórmula do comprimento de arco e fazer algumas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um gráfico entre e . A fórmula é:
Isso significa que a gente precisa:
  1. Encontrar a derivada de , ou seja, .
  2. Calcular .
  3. Tirar a raiz quadrada desse resultado.
  4. Integrar essa expressão no intervalo dado.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de .

Passo 4

Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado e somar 1:
Simplificando:

Passo 5

Perceba que é uma expressão que podemos simplificar usando a identidade hiperbólica:
Então:

Passo 6

Agora, a expressão dentro da raiz quadrada fica:
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 7

Agora, podemos substituir na fórmula do comprimento de arco:

Passo 8

Vamos calcular essa integral. A integral de é . Então:

Passo 9

Calculando os valores:
Sabemos que . Então:
E .
Então:

Resposta

O comprimento do gráfico de no intervalo é aproximadamente 2.7623 unidades.

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