(b) Calcule o comprimento do gráfico de e^x+e^-x2 no intervalo [1, ln (8)]. (resposta integral1^ln (8) e^x+e^-x2 d x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento do gráfico da função no intervalo de até . Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente ao cálculo de comprimento de arco. Para isso, a gente vai precisar usar a fórmula do comprimento de arco e fazer algumas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um gráfico L = integrala^b raiz1 + ( dydx )^2 , dx entre e . A fórmula é:
Isso significa que a gente precisa:
  1. Encontrar a derivada de , ou seja, .
  2. Calcular .
  3. Tirar a raiz quadrada desse resultado.
  4. Integrar essa expressão no intervalo dado.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f'(x) = ddx( e^x + e^-x2 ) = e^x - e^-x2 .

Passo 4

Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado e somar 1:
1 + [f'(x)]^2 = 1 + ( e^x - e^-x2 )^2 = 1 + e^2x - 2e^xe^-x + e^-2x4
Simplificando:
1 + [f'(x)]^2 = 1 + e^2x + e^-2x - 24 = 4 + e^2x + e^-2x - 24 = e^2x + e^-2x + 24

Passo 5

Perceba que e^2x + e^-2x = 2 cosh(2x) é uma expressão que podemos simplificar usando a identidade hiperbólica:
1 + [f'(x)]^2 = 2 cosh(2x) + 24 = 2(cosh(2x) + 1)4 = cosh(2x) + 12
Então:

Passo 6

Agora, a expressão dentro da raiz quadrada fica:
raiz1 + [f'(x)]^2 = raizcosh(2x) + 12
Sabemos que cosh(2x) + 12 = 2 cosh^2(x) - 1 + 12 = cosh^2(x) , então:
raiz1 + [f'(x)]^2 = raizcosh^2(x) = cosh(x)
Portanto:

Passo 7

Agora, podemos substituir na fórmula do comprimento de arco:
L = integral1^ln(8) cosh(x) , dx

Passo 8

Vamos calcular essa integral. A integral de L = sinh(x) |1^ln(8) = sinh(ln(8)) - sinh(1) é . Então:

Passo 9

Calculando os valores:
Sabemos que sinh(ln(8)) = 8^2 - 12 times 8 = 64 - 116 = 6316 = 3.9375 . Então:
L = 3.9375 - 1.1752 = 2.7623
E .
Então:

Resposta

O comprimento do gráfico de no intervalo é aproximadamente 2.7623 unidades.

Exercícios relacionados