Calcular as integrais :

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de em relação a , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando a integral envolve o produto de duas funções diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . No nosso caso, vamos escolher:
Agora, vamos derivar e integrar para encontrar e :

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Então, a gente fica com uma nova integral para resolver: .

Passo 4

Para resolver essa segunda integral, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
Substituindo na integral:

Resposta

Juntando tudo, a integral fica:
Onde é a constante de integração.

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(b) Calcule o comprimento do gráfico de no intervalo . (resposta
Determine uma relação entre e , independente de , sabendo que: e .
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