Calcular as integrais : integral arcsen(5 x) d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de arcsen(5x) em relação a x, ou seja, integral arcsen(5x) , dx. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando a integral envolve o produto de duas funções diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. No nosso caso, vamos escolher:
u = arcsen(5x) dv = dx
Agora, vamos derivar u e integrar dv para encontrar du e v:
du = 5raiz1 - (5x)^2 , dx = 5raiz1 - 25x^2 , dx v = integral dx = x

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral arcsen(5x) , dx = uv - integral v , du = x cdot arcsen(5x) - integral x cdot 5raiz1 - 25x^2 , dx
Então, a gente fica com uma nova integral para resolver: integral 5xraiz1 - 25x^2 , dx.

Passo 4

Para resolver essa segunda integral, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
w = 1 - 25x^2 Rightarrow dw = -50x , dx Rightarrow x , dx = -dw50
Substituindo na integral:
integral 5xraizw , dx = 5 cdot integral xraizw , dx = 5 cdot ( -150 integral 1raizw , dw ) = -110 integral w^-1/2 , dw = -110 cdot 2w^1/2 + C = -15 raiz1 - 25x^2 + C

Resposta

Juntando tudo, a integral fica:
integral arcsen(5x) , dx = x cdot arcsen(5x) - 15 raiz1 - 25x^2 + C
Onde C é a constante de integração.

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