Calcular as integrais : integral t+7(t+1)(t^2-4 t+3) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integração de funções racionais, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar o método das frações parciais, que ajuda a dividir a fração complicada em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais. Temos:
(t + 1)(t^2 - 4t + 3)
Vamos fatorar o polinômio t^2 - 4t + 3 = (t - 1)(t - 3) . Procuramos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3. Então:
(t + 1)(t - 1)(t - 3)
Agora, o denominador fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Isso significa que:
t + 7(t + 1)(t - 1)(t - 3) = At + 1 + Bt - 1 + Ct - 3
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de t + 7 = A(t - 1)(t - 3) + B(t + 1)(t - 3) + C(t + 1)(t - 1) , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador , eliminando assim os denominadores:

Passo 5

Vamos escolher valores de -1 + 7 = A(-1 - 1)(-1 - 3) + 0 + 0 6 = A(-2)(-4) 6 = 8A A = 68 = 34 que simplificam a equação para encontrar 1 + 7 = 0 + B(1 + 1)(1 - 3) + 0 8 = B(2)(-2) 8 = -4B B = -2 , 3 + 7 = 0 + 0 + C(3 + 1)(3 - 1) 10 = C(4)(2) 10 = 8C C = 108 = 54 e facilmente.
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Agora que temos os valores de t + 7(t + 1)(t - 1)(t - 3) = 3/4t + 1 + -2t - 1 + 5/4t - 3 , e , podemos reescrever a fração inicial:

Passo 7

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral 3/4t + 1 , dt = 34 ln|t + 1|
integral -2t - 1 , dt = -2 ln|t - 1|
integral 5/4t - 3 , dt = 54 ln|t - 3|

Resposta

Portanto, a integral é:
integral t+7(t+1)(t^2-4 t+3) , dt = 34 ln|t + 1| - 2 ln|t - 1| + 54 ln|t - 3| + C
Onde é a constante de integração.

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