Calcular as integrais :
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com uma integração de funções racionais, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar o método das frações parciais, que ajuda a dividir a fração complicada em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais. Temos:
Vamos fatorar o polinômio
. Procuramos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3. Então:
Agora, o denominador fica:
Passo 3
Agora, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Isso significa que:
Onde
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador
, eliminando assim os denominadores:
Passo 5
Vamos escolher valores de
que simplificam a equação para encontrar
,
e
facilmente.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos reescrever a fração inicial:
Passo 7
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Resposta
Portanto, a integral é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule
de modo a obter
e
.
Calcular as integrais :
Calcular as integrais :
(b) Calcule o comprimento do gráfico de
no intervalo
. (resposta