Calcular as integrais :

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integração de funções racionais, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar o método das frações parciais, que ajuda a dividir a fração complicada em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais. Temos:
Vamos fatorar o polinômio . Procuramos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3. Então:
Agora, o denominador fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Isso significa que:
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador , eliminando assim os denominadores:

Passo 5

Vamos escolher valores de que simplificam a equação para encontrar , e facilmente.
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Agora que temos os valores de , e , podemos reescrever a fração inicial:

Passo 7

Vamos agora integrar cada termo separadamente:

Resposta

Portanto, a integral é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule de modo a obter e .
Calcular as integrais :
Calcular as integrais :
(b) Calcule o comprimento do gráfico de no intervalo . (resposta